2017 Fiscal Year Research-status Report
一般化された複素構造, ４次元微分トポロジー, 非可換代数幾何, 導来圏の研究
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16K13755
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
後藤 竜司 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 一般化された複素多様体 / 非可換代数幾何 / 一般化されたケーラー多様体 / ポアソン構造 / アインシュタインーエルミート計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度研究実績は次の二点である. (1) ポアソンモジュールの具体的な構成 (2) 一般化されたケーラー多様体上の曲率の研究. 以下（２）について詳述する.
一般化されたケーラー幾何学においては, レビ・チビタ接続が定義されない. 更に曲率の適切な定義すら 無いという研究状況であったが, 筆者は 通常のケーラー幾何との類似を追求しながら, 一般化されたケーラー幾何学において, モーメント写像の枠組みを構成することに成功し, 一般化されたケーラー多様体のスカラー曲率をモーメント写像として定義した.一般化されたケーラー多様体上のベクトル束 E において, 一般化された接続 D は通常の接続では, 多様体 M の余接束 T*M のところを 接束 TM と余接束 T*Mの直和に置き換えて定義される. 多様体上に d-closedな非退化スピノル ψ がある場合は, この非退化スピノルを使い, 一般化された接続に関して モーメント写像の観点から新たに”曲率” に相当する概念を導入することができる. すると, モーメント写像の枠組みが自然に適用され, 一般化された接続に対してアインシュタイン・エルミート条件が得られ, そのモジュライ空間はモーメント写像による有限次元のケーラー商として得られる.
これらの結果は論文にまとめ、Arxiv 上に発表し、国内外の様々な研究集会にて発表した.
arXiv:1707.03143 [pdf, ps, other]Moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections over generalized Kahler manifolds of symplectic type, Ryushi Goto
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般化された接続にたいして、通常の曲率の定義では、曲率がテンソルとして定義されず、微分作用素となってしまうという困難を、シンプレクティック幾何学におけるモーメント写像の概念を用いることで、適切な曲率の定義を与えることに成功した. 昨年度の研究により、一般化されたケーラー多様体のリッチ曲率を定式化したが、このリッチ曲率が標準束に入るキャノニカルな接続の曲率に一致することが示された.
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| Strategy for Future Research Activity |
一般化された正則ベクトル束の具体例の構成を行う. これは非可換代数幾何におけるベクトル束の微分幾何版とみなせるものである. 通常のケーラー多様体上のベクトル束にたいしては、アインシュタインーエルミート接続と安定正則ベクトル束との一対一対応、すなわち、小林ーヒッチン対応が良く知られているが、
この研究により、一般化されたケーラー多様体上のベクトル束に関して、小林ーヒッチン対応予想が定式化された.
今後は、具体例を作りこの予想を検証しつつ、予想の証明にとりかかる.
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| Causes of Carryover |
次年度において、国際研究集会を開催する計画があるため、講演者、参加者の費用に使う必要性が生じた.
国際研究集会は６月にイタリア、フィレンチェにて開催予定のThe 5th workshop on complex geometry and Lie groupsと９月開催予定の第４回日中幾何学研究集会と１１月に金沢にて開催予定のThe 24th symposium on Complex Geometry である.
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