2019 Fiscal Year Final Research Report

Generalized complex structures, 4 dimensional differential topology, noncommutative algebraic geometry and derived category

Research Project

PDF

Project/Area Number	16K13755
Research Category	Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
Allocation Type	Multi-year Fund
Research Field	Geometry
Research Institution	Osaka University
Principal Investigator	Goto Ryushi 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	大川新之介大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
Project Period (FY)	2016-04-01 – 2020-03-31
Keywords	一般化された複素構造 / 一般化されたケーラー構造 / ポアソン構造 / アインシュタイン・エルミート計量 / モーメント写像 / スカラー曲率 / 小林・ヒッチン対応 / 正則ベクトル束
Outline of Final Research Achievements	In Kahler geometry, the scalar curvature arises as the moment map for the action of Hamiltonian diffeomorphisms. In generalized Kahler geometry, there was no suitable definition of Levi-civita connection and so the notion of the scalar curvature was not known. However the author reaches the precise definition of "scalar curvature" which is the moment map from the novel framework of the infinite dimensional symplectic manifold on a generalized Kahler manifold. Then he also yields the definition of mean curvature of generalized holomorphic vector bundles as the moment map and establishes the Kobayashi-Hitchin correspondence on generalized holomorphic vector bundles over a compact generalized Kahler manifold of symplectic type. The Kobayashi-Hitchin correspondence shows the equivalence between the poly-stablility of a generalized holomorphic vector bundle and the existence of generalized Einstein-Hermitian metric.
Free Research Field	微分幾何、複素幾何
Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements	ベクトル束において平均曲率がモーメント写像として得られることは, Atiyah-Bott による顕著な結果であり, その後, 小林ーヒッチン対応, ヒッグス束と基本群の表現空間との同値性など, 様々な分野に大きな影響を与えた. この研究では一般化されたケーラ幾何学においても小林ーヒッチン対応が成立することを示しており、その意義は大きい. またスカラー曲率をモーメント写像としてとらえるこの研究は、ケーラー幾何学において, 現在急速に発展している Donaldson-Tian-Yau 予想が一般化されたケーラー幾何でも成立することを示唆している.