2017 Fiscal Year Research-status Report
双曲性をもつ離散群の正規部分群に関する収束指数スペクトルと余増大度剛性の研究
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16K13767
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
イェーリッシュ ヨハネス 島根大学, 総合理工学研究科, 講師 (90741869)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 双曲幾何学 / 離散群 / 幾何学的群論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
自由群のケーリーグラフへの部分群の等長的作用に関する収束指数と，商グラフ上の離散ラプラシアンのスペクトルの底の間には Grigorchuk の公式による関係が知られている．同様の結果は双曲空間に作用するクライン群の収束指数と双曲多様体上のラプラシアンに対しても Sullivan らにより証明されている．昨年度の研究では，自由群のケーリーグラフの辺の長さを変動させた場合に Grigorchuk の公式を一般化する問題を考察し，その方法についてアイデアを得た．今年度は，その議論を精密化し，部分群の収束指数にも依存して定まる重み付きの離散ラプラシアンがあり，そのスペクトルの底との間に Grigorchuk の公式を一般化することに成功した．
極限集合のエルゴード理論的性質が，正規部分群にどのように遺伝するかの問題について，まず双曲空間に作用するクライン群に対して考察した．以前の研究では，錘極限集合は任意の非自明正規部分群の広義の球接極限集合に含まれることを証明していた．今回の研究では，Myrberg 極限集合は任意の非自明正規部分群の狭義の球接極限集合に含まれることを証明した．Myrberg 極限集合は測地線の単位接ベクトル束上での位相的推移性から定義される極限点の集合である．この結果により，球接極限集合の差異が等角不変測度に関して零集合となるかという Sullivan, Tukia による問題についていくつかの例が与えられるとともに，Myrberg 極限点が定める測地線の無限遠への発散オーダーに関する問題を発掘した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
自由群の収束指数についての Grigorchuk の公式を一般化が得られたことは大きな成果であった．とくに重みが変動する場合でも収束指数の1/2における相転移が確かめられた．これにより，当初の問題のひとつである双曲性をもつ群の正規部分群の収束指数がもとの群の収束指数の1/2より真に大きくなるかどうかの問題についてもその重要度が増したが，今年度はより一般な空間設定でこの問題を扱った研究に関する文献の存在に気がつくに留まった．
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| Strategy for Future Research Activity |
自由群のケーリーグラフの辺に与える長さを変化させた場合に，それに作用する自由群の部分群の収束指数と，商グラフの変動するラプラシアンの底との関係については望ましい結果が得られた．重みが均等な場合のラプラシアンの底に関連する不変量としては，商グラフの増大度や等周不等式の定数などもある．今後は，これらの関係においても，辺に与える長さを変化させた場合ついて研究する．
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| Causes of Carryover |
予定していた幾何学的群論の研究集会での成果発表は，論文執筆の進行状況を考慮して次年度に延期した．そのため，助成金の使用に繰り越しが生じたが，次年度は研究代表者，分担者ともに成果発表を積極的に行う計画であり，そのために助成金を使用する．
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