2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K13769
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柳田 英二 東京工業大学, 理学院, 教授 (80174548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
菅 徹 東京工業大学, 理学院, 助教 (60647270)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 発展方程式 / 偏微分方程式 / 特異性 / 非線形解析 / 分岐 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
べき乗型非線形項を持つ半線形放物型方程式に対し、動的特異点を持つ解の存在とその漸近挙動について研究を進めた。非線形項が湧き出し型の場合には、べきに対する条件の下、動的特異点が孤立点となる解の存在を示すとともに、高次元特異集合を持つ解の存在条件を明らかにした。吸収型の非線形項の場合には、超曲面上に動的特異点を持つ解を構成し、特異点近傍の漸近挙動を明らかにした。
非線形項がOsserman 条件と呼ばれる積分条件を満たすとき、放物型偏微分方程式には large solution と呼ばれる境界で発散する解が存在することは以前から知られていたが、ここでは境界が時間とともに変化するときにも同様の解が存在するかどうかについて研究を進めた。 その結果、境界が時間的、空間的に滑らかな場合には確かにこのような解は存在し、境界付近の漸近挙動は境界の曲率と法線速度に依存することが明らかになった。
逆2乗の特異なポテンシャル項を含む放物型方程式については、問題が適切であるための条件がすでに得られている。ここでは特異点は時間とともに移動する場合について考察し、特異性の強さが異なる2種類の特異解が存在することが明らかになってきた。これらの解はそれぞれ一意的であり、適切性についても（やや強い条件のもとではあるが）同様の結果が得られることが示された。
臨界指数を持つ非線形楕円型方程式の特異解については、Hardy型臨界指数の場合とSobolev型臨界指数を持つ場合についてはすでに解明されていた。ここではこれらを統合し、より一般の臨界条件の下で特異解の存在と漸近挙動について調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
湧き出し型および吸収型の非線形項を持つ方程式に対する高次元特異集合を持つ解、Osserman 条件を満たす非線形項を持つ放物型方程式に対する境界爆発解、Hardy型ポテンシャルを持つ線形拡散方程式に対する解の存在と一意性、臨界指数を持つ非線形楕円型方程式の特異解に対する統一的取り扱いについて大きな進展があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
高次元特異集合を持つ解の存在については研究の完成を計る予定である。新しい方向として、境界発散する解やHardy型ポテンシャルを持つ解の存在とその性質を明らかにすることは重要であり、今後のこの方面にも注力して行く予定である。
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| Causes of Carryover |
海外研究者を招へいして共同研究を進める予定であったが、研究代表者の海外滞在期間が長く、招へいの機会がなかった。平成30年度には海外研究者を招へいあるいは相手国を訪問し、共同研究を行う予定である。
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Research Products
(4 results)
