2018 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis on moving singularities in evolution equations
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16K13769
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柳田 英二 東京工業大学, 理学院, 教授 (80174548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
菅 徹 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60647270) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 発展方程式 / 偏微分方程式 / 動的特異点 / 非線形解析 / 臨界指数 / 漸近解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究計画では、線形および非線形の放物型方程式に対する動的特異点を持つ解の存在と、その形状およびダイナミクスについての研究を進めてきた。
平成３０年度は特に，Hardy型ポテンシャルを持つ線形拡散方程式の特異解の存在について進展があった。具体的には、特異なポテンシャル項を含む放物型方程式について、特異解が存在するための最適な条件を明らかにし、また特異性の強さが2種類のタイプに分類されることを明らかにした。
べき乗型非線形項を持つ半線形放物型方程式に対し、動的特異点を持つ解の存在とその漸近挙動について研究を行った。非線形項が湧き出し型の場合には、動的特異点が孤立点となる解の存在を示すとともに、高次元特異集合を持つための条件を明らかにした。吸収型の非線形項の場合には、超曲面上に動的特異点を持つ解を構成し、特異点近傍の漸近挙動を明らかにした。より一般の非線形項を含む方程式についても、同様の構造を持つための漸近的条件を得た。
非線形項がOsserman 条件を満たすとき、放物型偏微分方程式には large solution と呼ばれる境界で発散する解が存在することは以前から知られていたが、境界が動的に変化するときにも同様の解が存在するかどうかについて研究を進めた。 その結果、境界が時間的、空間的に滑らかな場合にこのような解が存在し、境界付近の漸近挙動は境界の曲率と法線速度に依存することを示した。
臨界指数を持つ非線形楕円型方程式の特異解については、Hardy型臨界指数の場合とSobolev型臨界指数を持つ場合の結果を統合し、より一般の臨界条件の下で特異解の存在と漸近挙動について明らかにした。
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