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2016 Fiscal Year Research-status Report

非線形放物型偏微分方程式の解の複素特異点とパターン形成の関係

Research Project

Project/Area Number 16K13778
Research InstitutionMeiji University

Principal Investigator

二宮 広和  明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (90251610)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 桂田 祐史  明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (80224484)
池田 幸太  明治大学, 総合数理学部, 専任講師 (50553369)
小野寺 有紹  東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
Project Period (FY) 2016-04-01 – 2018-03-31
Keywordsパターンダイナミクス / 複素領域 / 反応拡散系 / 全域解 / ヘレ・ショウ問題
Outline of Annual Research Achievements

複雑な形状をもつ非線形偏微分方程式のパターン解は,数値計算によって得られていが,数学的には証明するのは難しい.それらの数学的に表現のために,本研究課題では,非線形放物型偏微分方程式を複素領域に拡張し,その特異点の実軸からの距離等の情報から特徴付けることを目的としている.空間変数を複素領域に拡張すると,放物型・楕円型偏微分方程式は適切でなくなる.そのため,本研究課題では非線形偏微分方程式を複素領域に拡張すること,および,その複素特異点の位置のダイナミクスとパターン形状の関係に関する研究を行っていく.
まず,等角写像や特殊関数等を用いた厳密解を特異点の視点から考察し直し,特異点の位置情報を得ようと考え,今年度は,関連する論文の情報収集を行い,分担者を集めた複数回の情報交換を行った.また,複素領域上への拡張方法を確立し,複素特異点の位置情報を得るために,簡単な方程式における複素領域への拡張を数値計算により試行した.さらに,ヘレ・ショウ問題における樹枝状形状の数学的構成を目標として,流体領域の形状とそれに付随する等角写像の特異点との関係を研究した.
なお,これらの研究においていくつかの困難な点があり,そっらを打開する手法として,新しい全域解の構成を行った.全域解は,放物型方程式の解でありながら,時間が正にも負にも解ける解のことである.自由境界問題の解として,回転するスポット解の構成に成功し,解の形状と複素特異点の関係を調べる情報を増した.また,1次元のAllen-Cahn方程式に関しては,フロントを3つもつ全域解の構成に成功し,現在,論文をまとめているところである.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

複素領域への拡張問題は,数学的にも数値的にも大変難しい問題である.現在のところ,これまでの文献を調べて,それらの情報を総合的に判断するべく,分担者と協力して行っている.これらの文献調査により,研究組織全体として問題の理解が深まった.放物型方程式の複素領域上への拡張に関する数値計算により複素特異点の情報は集まりつつある.自由境界問題であるヘレ・ショウ問題における樹枝状形状の数学的構成を目標として,粘性流体領域の形状とそれに付随する等角写像の特異点との関係についても研究を行い,研究組織全体で議論を行った.また,可積分性と複素領域への拡張問題の関係についても議論した.
なお,全域解の構成については,自由境界問題の回転スポット解の構成を行い,論文に発表した.フロントを3つもつAllen-Cahn方程式の全域解の構成に成功し,現在,論文をまとめているところである.また,無限遠からの分岐についても,研究協力者と議論を進め,一部進展を得た.以上より,概ね順調に進んでいると判断できる.

Strategy for Future Research Activity

反応拡散系の複素領域への拡張については,昨年度の知見をもとに,複素領域への拡張した際の複素特異点の情報を詳細に得る数値計算法の確立を行うと同時に,理論的なアプローチを試みる.まず,Allen-Cahn方程式の新しい全域解の構成を行う.これにより,特異点の運動とパターンの新しい関係を調べる.これについては,これまでの現在進展中であり論文にまとめていく.また,ヘレ・ショウ問題のような自由境界問題については,複素特異点とパターン形成の関係の数値計算を行うことと,厳密解の数値計算による情報を集める.これらの情報もとに研究代表者・分担者と議論を重ねる.無限遠からの分岐や爆発問題と複素特異点の関係については,ある程度の進展を得たので,これを論文へとまとめていく.新しい試みとして,未知変数の複素化による影響をいくつかの方程式で数値計算して調べていく.2次の非線形項の場合には,すでに結果を得ているが,Allen-Cahn方程式など他の方程式への拡張を試みる.分担者の分野は広がりをもっているため,それぞれの分野への知見を生かして,この問題解決への糸口を見つけていく予定である.

Causes of Carryover

招聘あるいは訪問しようとしていた海外研究者が,今年度来日することになったため,訪問を取りやめたためである.また,分担者が全員関東の大学に移動したことも要因のひとつである.

Expenditure Plan for Carryover Budget

当海外研究者の日本の滞在先を訪問して,議論を行う予定である.この議論の進展を見て,再度訪問するか,別の研究者を訪問するか検討する予定である.

  • Research Products

    (17 results)

All 2017 2016 Other

All Int'l Joint Research (2 results) Journal Article (7 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 7 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (8 results) (of which Int'l Joint Research: 8 results,  Invited: 8 results)

  • [Int'l Joint Research] National Taiwan University/National Tainan University/Tamkang University(台湾)

    • Country Name
      その他の国・地域
    • Counterpart Institution
      National Taiwan University/National Tainan University/Tamkang University
    • # of Other Institutions
      1
  • [Int'l Joint Research] フィレンツェ大学(イタリア)

    • Country Name
      ITALY
    • Counterpart Institution
      フィレンツェ大学
  • [Journal Article] Traveling wave solutions with convex domains for a free boundary problem2017

    • Author(s)
      H. Monobe and H. Ninomiya
    • Journal Title

      Discrete and continuous dynamical systems Ser. A

      Volume: 37 Pages: 905-914

    • DOI

      10.3934/dcds.2017037

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Existence of rotating spots with spatially dependent feedback in the plane in a wave front interaction model2017

    • Author(s)
      Y.-Y. Chen, J.-S. Guo and H. Ninomiya
    • Journal Title

      Journal of Dynamics and Differential Equations

      Volume: 29 Pages: 465-483

    • DOI

      10.1007/s10884-016-9541-7

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Traveling curved waves in two dimensional excitable media2017

    • Author(s)
      H. Ninomiya and C.-H. Wu
    • Journal Title

      SIAM J. Mathematical Analysis

      Volume: 49 Pages: 777-817

    • DOI

      10.1137/16M1064040

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Reaction, diffusion and non-local interaction2017

    • Author(s)
      H. Ninomiya, Y. Tanaka and H. Yamamoto
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Biology

      Volume: 75 Pages: 1203-1233

    • DOI

      10.1007/s00285-017-1113-x

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Vanishing, moving and immovable interfaces in fast reaction limits2017

    • Author(s)
      M. Iida, H. Monobe, H. Murakawa and H. Ninomiya
    • Journal Title

      Journal of Differential Equations

      Volume: 263 Pages: 2715-2735

    • DOI

      10.1016/j.jde.2017.04.009

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A reaction diffusion model for understanding phyllotactic formation2016

    • Author(s)
      Y. Tanaka, M. Mimura and H. Ninomiya
    • Journal Title

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      Volume: 33 Pages: 183-205

    • DOI

      10.1007/s13160-015-0202-8

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Dynamical approach to an overdetermined problem in potential theory2016

    • Author(s)
      M. Onodera
    • Journal Title

      J. Math. Pures Appl.

      Volume: 106 Pages: 768--796

    • DOI

      doi:10.1016/j.matpur.2016.03.011

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] On the solution structure of Bernoulli's free boundary problem2017

    • Author(s)
      M. Onodera
    • Organizer
      The 9th Nagoya Workshop on Differential Equations
    • Place of Presentation
      名古屋大学,名古屋
    • Year and Date
      2017-03-22 – 2017-03-22
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Traveling waves of curvature flows with anisotropic external forces2017

    • Author(s)
      H. Ninomiya
    • Organizer
      Mathematical Analysis on Nonlinear PDEs
    • Place of Presentation
      東北大学,仙台
    • Year and Date
      2017-01-06 – 2017-01-08
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Dynamical approach to an overdetermined problem2016

    • Author(s)
      M. Onodera
    • Organizer
      Korea-Japan International Workshop of Nonlinear Partial Differential Equations --- Aspect of Regularity and Asymptotics ---
    • Place of Presentation
      洞爺サンパレス,北海道
    • Year and Date
      2016-11-18 – 2016-11-18
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Reduction approach to a reaction-diffusion system for collective motions of camphor boats2016

    • Author(s)
      K. Ikeda, S.-I. Ei, A. Tomoeda, M. Nagayama
    • Organizer
      Mathematics of Pattern Formation
    • Place of Presentation
      Mathematical Research and Conference Center, Bedlewo, Poland
    • Year and Date
      2016-09-14 – 2016-09-14
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Obstacle-induced spiral in two-dimensional excitable media2016

    • Author(s)
      H. Ninomiya
    • Organizer
      ミクロな振る舞いと集団的パターン形成に係る階層的構造の解明
    • Place of Presentation
      数理解析研究所,京都
    • Year and Date
      2016-09-12 – 2016-09-14
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Pattern formation through non-local interactions,2016

    • Author(s)
      H. Ninomiya
    • Organizer
      The 2016 (26th) annual meeting of the Japanese Society for Mathematical Biology
    • Place of Presentation
      九州大学,福岡
    • Year and Date
      2016-09-07 – 2016-09-09
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Layered Interface Systems and its Dynamics2016

    • Author(s)
      H. Ninomiya
    • Organizer
      11th AIMS International Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications
    • Place of Presentation
      Orlando USA
    • Year and Date
      2016-07-01 – 2016-07-05
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Reduction Approach to a Reaction-diffusion System for Collective Motions of Camphor Boats2016

    • Author(s)
      K. Ikeda, S.-I. Ei, A. Tomoeda, M. Nagayama
    • Organizer
      11th AIMS International Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications
    • Place of Presentation
      Orlando, Orlando, FL, USA
    • Year and Date
      2016-07-01 – 2016-07-05
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2018-01-16   Modified: 2022-02-22  

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