2017 Fiscal Year Research-status Report
非線形放物型偏微分方程式の解の複素特異点とパターン形成の関係
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16K13778
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
二宮 広和 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (90251610)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桂田 祐史 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (80224484)
池田 幸太 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (50553369)
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / パターンダイナミクス / 爆発問題 / 複素領域 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，非線形放物型偏微分方程式の解の形状に関する情報を複素領域の特異点の実軸からの距離等の情報から特徴付けることを目的としている．放物型・楕円型偏微分方程式を空間変数を複素領域に拡張すると，そのままでは適切でなくなる．そのため，本研究課題では非線形偏微分方程式を複素領域に拡張する手法を開発し，その複素特異点の位置のダイナミクスとパターン形状の関係に関する研究を行っている．具体的には，以下の３つのテーマについて研究を行っている．（１）反応拡散系の複素領域への拡張および複素特異点とパターン形成の関係，（２）自由境界問題のパターン形成と複素特異点の関係，（３）無限遠からの分岐や爆発問題と複素特異点の関係
まず，テーマ１に関しては，複数回の研究打合せを行い，アレン・カーン方程式のような拡散項と非線形項のみからなる反応拡散系を複素領域への拡張することには成功し，アレン・カーン方程式の特殊解の持つ複素特異性との関係を調べ，その成果をミネソタ大学において口頭発表した．現在，この研究を論文にまとめる作業を行っている．次に，テーマ２の等角写像や特殊関数等を用いた厳密解を特異点の視点から考察し直す研究については，まだあまり進んでいない．最後に，テーマ３の一つである無限遠分岐については，研究は順調に進み，多くの例で起きることが分かってきた．より多くの数理生物モデルに応用できる条件を取り出している段階にあり，現在まとめているところである．この研究が終わった段階で，複素特異点との関係を考察していく．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究課題では，以下の３つのテーマについて研究を行っている．（１）反応拡散系の複素領域への拡張および複素特異点とパターン形成の関係，（２）自由境界問題のパターン形成と複素特異点の関係，（３）無限遠からの分岐や爆発問題と複素特異点の関係
まず，テーマ１に関しては，複数回の研究打合せを行い，アレン・カーン方程式のような拡散項と非線形項のみからなる反応拡散系を複素領域への拡張することには成功し，複素領域への拡張に関してはすでに成功し，アレン・カーン方程式の特殊解の持つ複素特異性との関係を調べ，その成果をミネソタ大学において口頭発表した．現在，熱方程式の持つ複素特異点の性質について調べており，アレン・カーン方程式の複素特異点との関係を調べているところである．全域解の構成については，フロントを３つや４つもつアレン・カーン方程式の全域解の構成に成功し，現在，論文にまとめた．
テーマ２では，ヘレ・ショウ問題のような自由境界問題を等角写像で写像することによって得られる方程式の複素特異点について調べる予定であるが，現在のところ，まだ手が付けられていない．
テーマ３の無限遠分岐については，研究は順調に進み多くの例で起きることが分かってきた．より多くの数理生物モデルに応用できる条件を取り出している段階にあり，現在まとめているところである．この研究が終わった段階で，複素特異点との関係を考察していく．一般的な爆発問題と複素特異点の関係は，テーマ１との関係で現在研究を進めており，いくつかの例を構成することで状況を把握しようと試みているが，まだよく分かっていないのが現状である．
以上のように２年間でいくつかの成果が得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題では，以下の３つのテーマについて研究を行っている．（１）反応拡散系の複素領域への拡張および複素特異点とパターン形成の関係，（２）自由境界問題のパターン形成と複素特異点の関係，（３）無限遠からの分岐や爆発問題と複素特異点の関係
まず，テーマ１に関しては，熱方程式の持つ複素特異点の性質について調べて，これまでに得られた研究成果を論文にまとめる．これについては比較的早い段階で終わるものと思われる．また，全域解の性質を導き出す研究を進めている．この研究と複素特異点の関係を検討していく．
テーマ２では，ヘレ・ショウ問題のような自由境界問題を等角写像で写像することによって得られる方程式の複素特異点については，まだあまり手が付けられていない状態なので，少し時間がかかると思われるが，このテーマに関して研究打合せを複数回行うことで，研究を進めていく．
テーマ３の無限遠分岐については，より多くの数理生物モデルに応用できる条件を取り出し，論文にまとめる．これと複素特異点との関係を考察していく．一般的な爆発問題と複素特異点の関係は，テーマ１との関係で現在研究を進めており，いくつかの例を構成することで状況を把握しようと試みているが，まだよく分かっていないのが現状である．これを打開すべく具体的な例や数値計算を行うことで，状況の把握に努める．分担者の分野は広がりをもっているため，それぞれの分野への知見を生かして，この問題解決への糸口を見つけていく予定である．１年延長することで，当初の研究計画に近い研究成果を得る予定である．
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| Causes of Carryover |
昨年度生じた計画変更により，計画が１年ずれ込んだため．
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