2018 Fiscal Year Annual Research Report
Relation between pattern formations and complex singularities of solutions of nonlinear partial differential equations
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16K13778
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
二宮 広和 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (90251610)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桂田 祐史 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (80224484)
池田 幸太 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (50553369)
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / 複素領域 / 複素特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者は，反応拡散系や自由境界問題のV字進行波解，進行スポット解や指状進行解などさまざまな非平面進行波解の構成や全域解の構成を行ってきた．このようなパターン解の存在証明において，精度のよい近似解を構成する手法を開発してきた．アレン・カーン方程式は可積分系ではないが，パンルベ解析から双線形方程式を導くことができ，そこで得られた関数を用いて，解の非線形合成を行ってきた．精度よい近似解の構成から“複素特異点”の情報を導き出すことが，解の形状を調べることに対応し，本研究課題の着想に至った．
まず，実軸上の反応拡散方程式を複素平面内の適当な領域に解析接続可能であることを示した．しかし，一般には，複素平面全体には拡張不可能であり，特異点が存在する．この特異点の運動を，熱方程式とアレン・カーン方程式を対象として調べた．まず，熱方程式の解を複素数の範囲で考え，その性質を調べた．すると，有理型関数の性質を満たす初期値を考慮しても，少しでも時間が経てば領域内から特異点が除去されてしまう．したがって，特異点が時間に対して連続的に存在するためには，非線形性が重要な役割を果たすことが示唆された．アレン・カーン方程式を複素領域に拡張した場合，厳密解を用いて，複素特異点の移動を調べた．特異点が持つ性質について考察するために，一般化を試み，いくつかの結果を得た．
また，別の複素拡張として，一次元藤田型方程式の複素原始方程式，すなわち解の定義域および値域が複素領域である微分方程式でその両者を実軸へと制限したものが藤田型方程式となるものを構成した．しかし，その具体的な解を等角写像を用いて構成することには至らなかった．
さらに，無限遠からの分岐に関する研究も行った．この手法では，無限遠から分岐する解なので，振幅が大きな解を捉えることができる．RabinowtizやStuartの結果を拡張して論文をまとめた．
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