2017 Fiscal Year Research-status Report

有限変形理論に基づいた弾塑性スペクトル確率有限要素法の開発

Research Project

Project/Area Number	16K14300
Research Institution	Oyama National College of Technology
Principal Investigator	中川英則小山工業高等専門学校, 一般科, 准教授 (00369935)
Project Period (FY)	2016-04-01 – 2019-03-31
Keywords	スペクトル確率有限要素法 / NISP法 / 平面ひずみ引張り問題 / 有限変形弾性問題 / 有限変形弾塑性問題 / 塑性安定領域 / 確率弧長制御法
Outline of Annual Research Achievements	当該年度は次のことを行った． (1) 第一段階として，H28年度に構築した微小変形弾塑性問題を扱ったNISP確率有限要素法(以下NISP-SFEM)をベースに，有限変形の弾性問題についてtotal Lagrange形式(以下TL形式)でのNISP-SFEMを構築した．これは，Acharjee氏,Zabaras氏の論文(2006)において，有限変形確率弾塑性問題を解くためにTL形式で構築したことが書かれているためである． (2)第二段階として，有限変形弾性問題についてupdated Lagrange形式(以下UL形式)でのNISP-SFEMを構築した．有限変形弾塑性問題を今後扱うためには，材料構成則の関係からUL形式の方が便が良いためである．ここで，H28年度実施報告書の記載内容の一部を訂正する．UL形式もTL形式と同様に１つの物質点に着目してその確率過程を追いかけている訳であるが，現配置が確率変数として関係するため大きな誤差を含む可能性がある．また，UL形式とTL形式が等価になるためには，変形勾配テンソルによる4階構成則の変換が必要となる．その際に，変形勾配テンソルのPolynomial Chaos展開が4回掛かり，ここでも大きな誤差が生じる可能性がある．これらの理由から，有限変形弾性問題についてTL形式およびUL形式の両方で構築し，その差がどの程度かを検証した． (3)第三段階として，有限変形弾塑性問題についてTL形式およびUL形式でNISP-SFEMを構築した．この際に，確率弧長制御法なる手法も新たに考案しプログラムの実装を行っている．そして，ヤング率および降伏応力が確率変数となる平面ひずみ弾塑性引張り問題について，数値解析を通して検証を行った．以上により，２次元の有限変形確率弾塑性問題について，塑性安定領域におけるNISP-SFEMのプロトタイプが完成したと判断する．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason これまでの研究で，文献(Okazawa,Usami,Noguchi,Fujii:J.Eng.Mech.,ASCE,128,2002)に基づいて確率を導入していない通常の非線形有限要素法プログラムを構築し，平面ひずみ弾塑性引張り問題を解析している．そこでは，荷重増分を材端に与えてゆく初期不整が混入しない完全系での扱いとして，独自にプログラムを構築して文献の再現を試みており，荷重極大点を過ぎた後に分岐点を含む塑性不安定領域が現れることを確認している．本研究では，ヤング率や降伏応力が確率変数であるような確率弾塑性問題を扱っており，その意味で不完全系である．不完全系の場合，明確な意味での分岐点なるものは消滅し，解は繰返し計算における数値誤差によって最も不安定な解に到達してゆくことが知られている．申請の当初より，塑性不安定領域での解析が関係するとは予想していたが，H29年度末に入りその範囲での解析に直面している．市販の有限要素法プログラムでは，自らサブルーチンでも構築しない限り，塑性不安定解析がベースで組み込まれているようなものはないと思われる．その意味からしても，実用の範囲においては塑性安定領域がしっかりとカバーできれば問題はないとも考えられる．しかし，本研究を始めた発端は，有限変形弾塑性の範囲でスペクトル確率有限要素法を構築することと，確率と数値誤差が関係することで仕事量がより少ない最も不安定な解に次第に到達してゆく過程をどうにか示せないか，ということであった．申請期間である3年以内において，確率を用いたその制御方法までは到達できなくとも，どのような応力の遷移を経て最も不安定な解に到達してゆくかを確率を通すことでみられるのではないか，とも考えている． H29年度末からH30年度の現時点において，正にその問題に直面していることから，進捗状況として「やや遅れている」と回答した．
Strategy for Future Research Activity	今後の推進方策は次のようである． (1)第一段階として，有限変形の弾塑性問題について塑性不安定領域での解析を継続する．繰返し計算における数値誤差によって最も不安定な解に到達してゆくことが予想されるが，不安定領域であることに加えて確率変動も関係するため非常に難しい．分岐モードの方向に解が落ち込む兆候は見られるものの，解が収束しないため現時点では成功していない．試してみたい幾つかの打開策の一つとして，現在はヤング率および降伏応力が正規分布に従うと仮定してHermite確率汎関数に基づくhomogeneous chaosを構築しているが，それを一様分布の仮定に基づくLegendre確率汎関数で構築し解析を行うことを考えている．これは，応力が塑性載荷もしくは弾性除荷に遷移する際に，現在の正規分布に従う仮定では，遷移方向に対して一様に等しいチャンスが与えられないためである．この他，現時点で考えている策を順次試してゆく予定である． (2) 第二段階として，有限変形を伴う確率弾塑性問題について，3次元の範囲に拡張したプログラムの構築および塑性安定領域における解析を行う．第二段階とは書いているが，第一段階の内容が一番の難所であることからこれと並行して行う．また，2次元の範囲において塑性不安定領域での解析方法の方針が立てば，これを3次元の範囲に拡張しても同様な解析が行えると予想している．3次元の範囲でのNISP-SFEMプロトタイプの構築と安定領域での解析および平行して行っている第一段階が済み次第，3次元の範囲での塑性不安定領域での解析に臨む予定である．