2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K17562
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大島 芳樹 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (10746936)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Lie群 / ユニタリ表現 / 誘導 / 制限 / 余随伴軌道 / 等質空間 / Plancherel測度 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Lie群の既約ユニタリ表現について、表現の誘導や制限と軌道の方法との関連を調べている。
2018年度は、Lie群の等質空間のPlancherel測度の台の漸近的挙動に関する結果を得た(Benjamin Harris氏と共同)。Gを実簡約Lie群、Hを局所代数的なGの部分群とする。HがユニモジュラーであるときG/HにはG不変な測度が存在し、Hilbert空間L^2(G/H)へのGの自然な作用によりGのユニタリ表現を得る。この表現の既約表現への直積分分解はGのユニタリ双対上の測度(Plancherel測度)を用いて与えられる。
まず2017年度に行った代数的な考察により、Plancherel測度の台のうち"漸近的にgeneric"な部分は、ある部分旗多様体のねじれD加群の大域切断として得られることがわかっていた。ただしこの部分旗多様体を定める放物型部分Lie群のLevi成分は、G/Hの余接束のmoment mapによる像のgenericな元の固定部分群と共役である。この結果からPlancherel測度の台に現れる表現のうちの"generic"な部分は、上記のLevi成分と共役な固定部分群を持つ元からなる半単純軌道と対応する既約ユニタリ表現からなることが帰結される。
さらに2016年度に行った半単純軌道に対応する表現の指標の公式を合わせることで次の結論を得る：G/Hの余接束のmoment mapによる像と、Plancherel測度の台に現れる表現に対応する余随伴軌道の漸近的錐とは、generic部分に制限すると一致する。
例として等質空間GL(n,R)/GL(m,R)の余接束のmoment mapによる像を計算し、L^2(GL(n,R)/GL(m,R))の既約分解に現れる表現についての情報を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2018年度に得た結果は、ユニタリ表現L^2(G/H)の既約分解とG/Hの余接束のmoment mapによる像との関連を記述するものである。G/Hの余接束のmoment mapによる像は軌道の方法によればHの自明表現のGへの誘導表現と対応するものであり、ユニタリ表現のカテゴリーではL^2(G/H)である。
これは本研究課題の目的である表現の誘導と軌道の方法による余随伴軌道の幾何との関連を明示的に与えるものである。得られた結果はHの自明表現からの誘導のみに関するものであるが、一方でHはユニモジュラーな局所代数群であれば良く、実簡約部分Lie群よりも一般的なクラスについて成立している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、2018年度に得られたLie群の等質空間のPlancherel測度の台の漸近的挙動に関する結果を用いて、等質空間の離散系列表現についての情報を得たい。また本研究と関連のある内容で、ヨーロッパのグループにより球多様体の調和解析が活発に研究されておりここ数年で大きな進展があった。球多様体の調和解析について新しく得られた結果と我々の結果とを比較することで球多様体についてはより精密な結果が得られることを期待する。
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| Causes of Carryover |
2018年度参加予定だった国際研究集会が大学の用事と重なり参加できなくなったため、その分2018年度の使用額が少なくなった。次年度使用額は2019年度に行われる別の研究集会に参加する旅費に充てる。
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