2019 Fiscal Year Annual Research Report
Inductions and restrictions for representations of real reductive Lie groups
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16K17562
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大島 芳樹 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (10746936)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 表現論 / Lie群 / 誘導 / 制限 / Plancherel測度 / 簡約群 / ユニタリ表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、実簡約Lie群のユニタリ表現について表現の指標、誘導および制限についての新しい理解を目的とした。ただし誘導とは、群とその部分群に対して、部分群の表現からもとの群の表現を構成する操作であり、制限とはもとの群の表現から部分群の表現を得る操作である。特に以下の結果が得られた。
半単純軌道に対応する表現、Segal-Shale-Weil表現とよばれるメタプレクティック群の極小表現および不定値直交群の極小表現の場合に、Harish-Chandra指標のFourier変換と余随伴軌道(半単純軌道または極小ベキ零軌道)を関連付ける式を得た。半単純軌道に対応する表現とは(退化)主系列表現、離散系列表現、Zuckerman-Voganの導来関手加群等を含む広いクラスの既約ユニタリ表現である。
また、自明表現からの誘導表現の既約分解に現れる表現の"generic"な部分は、ある部分旗多様体上のねじれD加群の大域切断として実現できることがわかった。これは誘導表現の既約分解に現れる表現の零化イデアルの記述を用いた代数的議論に基づいている。
先述の指標についての結果と部分旗多様体への表現の実現、さらに誘導表現の波面集合の情報を用いて、Lie群の等質空間のPlancherel測度の台の漸近的挙動に関する結果を得た。すなわち実簡約群Gとその局所代数部分群Hに対して、Hilbert空間L^2(G/H)のGの既約表現への直積分分解が与えるGのユニタリ双対上の測度(Plancherel測度)の台の"generic"な部分は、GとHから決まる半単純軌道の族と対応する既約ユニタリ表現からなることが帰結される。系としてG/Hの離散系列表現の存在のための十分条件が得られた。
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