2018 Fiscal Year Research-status Report

量子アフィン代数の有限次元表現の古典極限に関する研究

Research Project

Project/Area Number	16K17563
Research Institution	Tokyo University of Agriculture and Technology
Principal Investigator	直井克之東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (40647898)
Project Period (FY)	2016-04-01 – 2020-03-31
Keywords	量子アフィン代数 / 結晶基底
Outline of Annual Research Achievements	Kirillov-Reshetikhin加群は、T系と呼ばれる短完全列を満たす、フェルミ型指標公式が成り立つ、などの著しい性質を持つ非常に重要な量子アフィン代数の有限次元単純加群の族である。Kirillov-Reshetikhin加群のその他の重要な性質として、結晶基底と呼ばれる良い性質の基底が存在することが古くから予想されている。この予想はKang et.alにより、Kirillov-Reshetikhin加群上に定義される双線形形式の値に関するある種の命題に帰着されており、Kirillov-Reshetikhin加群を有限型部分代数に制限したとき重複度１となる場合には、尾角-Schilling、Biswal-Scrimshawにより、実際に双線形形式の値を計算することにより肯定的に解決されている。しかし重複度１でない場合には直接双線形形式の値を求めることは困難である。昨年度はG_2^{(1)}型とD_4^{(3)}型の場合に上の予想を帰納法の議論を適用することで証明したが、今年度はさらに構造が複雑となるE_6^{(1)}型の場合に予想の証明を行った。この場合には昨年度の結果に用いられた手法では計算が煩雑となりすぎるため、extremal weight加群の大域基底の理論を援用する、という画期的な手法を適用することで証明を行った。E_6^{(1)}型のKirillov-Reshetikhin加群は、これまで予想が証明された場合に比べてはるかに構造が複雑であり、この場合に証明を与えたことは、非常に大きな前進であると考えている。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 昨年度に引き続き、「Kirillov-Reshetikhin加群は結晶基底を持つ」という、この分野では非常に有名かつ重要な予想を、さらに新たな系列で証明することができた。これは非常に重要な進展である。
Strategy for Future Research Activity	「Kirillov-Reshetikhin加群は結晶基底を持つ」という予想の、型によらない一般的な形での解決を目指す。またKirillov-Reshetikhin加群を含むより大きな単純加群の族であるminimal affinizationについて、その古典極限に関する考察を行っていく。
Causes of Carryover	研究集会の開催場所が近いものが多く、旅費の出費が想定より抑えられた。