2019 Fiscal Year Annual Research Report
Research on the classical limits of finite-dimensional representations over a quantum affine algebra
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16K17563
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
直井 克之 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (40647898)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 結晶基底 / Kirillov-Reshetikhin加群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kirillov-Reshetikhin加群は、T系と呼ばれる短完全列を満たす、フェルミ型指標公式が成り立つ、などの著しい性質を持つ非常に重要な量子アフィン代数の有限次元単純加群の族である。Kirillov-Reshetikhin加群のその他の重要な性質として、結晶基底と呼ばれる良い性質の基底が存在することが古くから予想されている。この予想はKang et.alにより、Kirillov-Reshetikhin加群上に定義される双線形形式の値に関するある種の命題に帰着されており、Kirillov-Reshetikhin加群を有限型部分代数に制限したとき重複度１となる場合には、尾角-Schilling、Biswal-Scrimshawにより、実際に双線形形式の値を計算することにより肯定的に解決されている。しかしながら例外型の場合は, 古典型部分量子展開環に制限した場合に, 重複度が自由でなくなるなど加群の構造がより複雑になるため, いまだ多くの場合で予想の証明がなされていない。研究期間全体を通して研究代表者は例外型におけるこの予想の証明に力を注いできており, 2018年度までにG_2(1)型, D_4(3)型, E_6(1)型の場合で証明を与えた。最終年度では, E_6(1)型の場合の結果をさらに検証し一般化することで, すべての例外型において, near-adjointと呼ばれる特別なKirillov-Reshetikhin加群の族に対し予想の証明を与えた。この結果は, Queensland大学のT. Scrimshawとの共同研究である。
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