| Outline of Annual Research Achievements |
量子変形カレント代数の複素数体上での有限次元既約表現について研究した。
量子変形カレント代数は変形カレントリー代数の普遍包絡環のq-類似であり, パラメータ q が generic であるとき, その表現論はカレントリー代数の表現論と同様に扱うことができることが期待できる。しかし, リー代数の普遍包絡代数が自然なホップ代数の構造を持っているのに対し, 量子変形カレント代数上には今の所, ホップ代数の構造が知られていない。そこで, ホップ代数の構造, 特に余積を見つけることが最も重要なステップとなる。そこで今年度は主に量子変形カレント代数の余積構造について調べた。
量子変形カレント代数は, 無限可算個の生成元と基本関係式によって定義される代数であるが, 余積の定義等, 生成元を用いて議論する際には, 生成元や基本関係式が可能な限り少ない方が議論が楽になることがある。そこで, まずどの程度の生成元と基本関係式が必要であるかを調べた。現段階では, 生成元については, 有限個の生成元で代数を実現することができることは分かったが, 基本関係式については, かなり数は減らせるものの, 未だに可算無限個必要である。それでも, 余積等を定義する際には, 数を減らした生成元と基本関係式による表示は非常に有効である。また, 非自明な関係式を見つけることにより, 基本関係式も有限個に減らせる可能性がある。
上で述べた, 有限個の生成元を用いて余積構造を定める試みを行った。変形カレントリー代数の余積の q-類似としてかなり安直な方法を試して見たが, 安直な方法では上手く定義できないことが分かった。そこで, 量子変形カレント代数を導入する動機となった, 巡回q-Schur 代数の表現論との関係を見直し, そこから, 余積をどう定義すべきかの方向性を得る事が出来た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
量子変形カレント代数の表現論において, その余積構造が非常に重要な役割を果たすが, 未だにその余積を定義できていないため, 先に進めていない。しかし, 余積の定義に向けての方向性が見えてきている事, 及び, 余積を使わずに議論できる部分, また, 余積を用いて成り立たないといけないことなどについては, いろいろと結果を得ているので, 今後, 挽回は十分に可能であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
量子変形カレント代数の余積を定義し, それを用いて有限次元既約表現の分類を行う。
その後, 有限次元表現のなす圏上のテンソル圏としての構造を調べていく。また, integral form を考え, q を 1 の冪根に特殊化した場合の表現論についても調べていく。
また, 関連する代数の表現論についても調べていく。特に, これまでは A型の量子変形カレント代数のみを扱ってきたが, 他の型の量子変形カレント代数の表現論についても調べていく。
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