2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K17567
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
松本 拓也 名古屋大学, 高等研究院(多元), 特任助教 (50748803)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 2次元共形場理論 / 量子群 / ジャック多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度も、正の有理レベルにおけるA_1型の2次元共形場理論に関する共同研究を継続して行った。これは、1984年のBelavine-Polyakov-Zamolodchikov(BPZ)に始まる2次元共形場理論の典型的な模型である「ミニマル模型」の拡張であり、中心電荷は有理数にその値をとっている。この場合、A_1型であっても拡大W代数と呼ばれる、非常に大きな対称性が現れることが知られている。一方で、「Kazhdan-Lusztig対応」によると、この拡大W代数の加群圏は、qが1の冪根におけるある量子群のそれと、アーベル圏として同値になることが期待される。本研究の目的は、共形場理論側から出発し、量子群側に現れるものを同定し、この対応関係を確立することにある。
変数qが1の冪根の場合、LusztigによるLarge量子群が構成できることが、知られている。よって、これに対応するVirasoro準同型写像を共形場理論側で自然な形で構成することが、本年度の目標であった。現状では、この演算子は、Virasoroフォック加群を、Virasoro socle列に関する単純加群に分解することで、ある種のHodge理論におけるラプラシアンに相当するものとして、定義できることが分かった。そのためには、ラプラシアンの構成要素である「微分」演算子を、まず構成する必要がある。現状では、この「微分」演算子が作用する空間として、log型の共形場理論へ理論を拡張する必要があり、その理論的整備を行っているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度中に、拡大W代数とそれに微分として作用するsl_2作用を、明示的に証明し論文にまとめるつもりであったが、まだ論文は完成していない。これは、sl_2代数の演算子を、Hodge理論のラプラシアンのような複合演算子ではなく、直接定義しようとしていた方針に無理があったこと、またHodge理論におけるderivationが作用する空間を得るためには、log型の共形場理論へ移行する必要があったこと、などを見落としていた点が挙げられる。しかし、これらの問題とその解決策が明らかになってきたことは、進展であり、来年の出来るだけ早い段階で、上記の結果を論文の形にまとめたいと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の目標としては、正の有理レベルにおけるA_1型の2次元共形場理論において、log型の拡張を考え、そこで得られた射影加群のVirasoro加群としてのSocle列に関する分解を書き下すことが重要である。この時、L[0]固有空間としては、Jordanブロックが現れる。そして、この射影加群の上に作用するVirasoro準同型写像から、拡大W代数に対するsl_2作用を明示的に構成する事が、次の目的である。
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