2017 Fiscal Year Research-status Report
アフィン量子群のレベル・ゼロ表現論の幾何学的・組合せ論的研究
| Project/Area Number |
16K17577
|
|---|
| Research Institution | Gunma University |
|---|
Principal Investigator |
石井 基裕 群馬大学, 教育学部, 講師 (00732463)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | アフィン量子群 / 端ウェイト加群 / Bott-Samelson多様体 / Young盤 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
アフィン量子群（アフィンLie環）のレベル・ゼロ表現論の設定にまで幾何学的佐武対応を拡張する試みの一つとして、Bott-Samelson多様体に着目した研究とYoung盤の組合せ論に着目した研究とを行った。
アフィンGrassmann多様体のSchubert部分多様体に付随するBott-Samelson多様体のトーラス作用に関する固定点集合にはアフィン量子群の結晶構造が定まる（ギャラリー模型）。また、幾何学的佐武対応と分解定理とを適用すると、Bott-Samelson多様体のコホモロジー群には有限次元半単純Lie環の作用が定まる。この作用が、結晶構造との整合性を保ったまま、アフィンLie環の作用にまで拡張されるかという問題について取り組んだ。本年度は一般的な結論には至らなかったが、アフィン建物の縮射とLefschetzの定理とを組合せることで、アフィンLie環の作用を構成することができるのではないかと考えている。
また、アフィン量子群の端ウェイト加群の結晶基底に対する半無限Lakshmibai-Seshadriパス模型による実現をもとに、A型アフィン量子群の端ウェイト加群の結晶基底を実現する半無限Young盤を導入した。そして、レベル・ゼロ基本ウェイトの非負整数倍（すなわち、長方形型のYoung図形に対応するレベル・ゼロ優整ウェイト）を端ウェイトとする場合に、半無限Young盤に対する特徴付けを与えた。この特徴付けにおいては、M. ShimozonoによるA型Kirillov-Reshetikhin結晶に対するYoung盤を用いた記述に現れる promotion の操作が重要な役割を果たす。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
アフィンGrassmann多様体のSchubert部分多様体に付随するBott-Samelson多様体の性質について、十分な解明がなされていないため。また、一般の型の半無限Young盤に対する特徴付けには至っていないため。
|
| Strategy for Future Research Activity |
アフィン建物の縮射とLefschetzの定理とを用いて、Bott-Samelson多様体のコホモロジー群にアフィンLie環の作用が定まることを示し、それが結晶構造（ギャラリー模型）と整合的であることを示したい。また、Bott-Samelson多様体のコホモロジーの環構造を組合せ論的に記述したい。
一般の型の半無限Young盤に対する特徴付けを与えたい。そして、テンソル積構造に付随する組合せ論的な性質、例えばRobinson-Schensted-Knuth対応の一般化などを得たい。
|
| Causes of Carryover |
研究を進めていく上で必要に応じて研究費を執行したため当初の見込み額と執行額とは異なったが、研究計画に変更はなく、前年度の研究費も含め、当初予定通りの計画を進めていく。
|
