2018 Fiscal Year Research-status Report
アフィン量子群のレベル・ゼロ表現論の幾何学的・組合せ論的研究
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16K17577
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| Research Institution | Gunma University |
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Principal Investigator |
石井 基裕 群馬大学, 教育学部, 准教授 (00732463)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | アフィン量子群 / 端ウェイト加群 / アフィン建物 / 半無限Bruhat半順序 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アフィン量子群（アフィンLie環）のレベル・ゼロ表現論における幾何学的佐武対応の類似を研究するための試みとして、アフィンBott-Samelson多様体に関する研究と半無限Young盤に関する研究とを行った。
アフィンBott-Samelson多様体のコホモロジー群にアフィンLie環のレベル・ゼロ表現の構造を定めることが目標である。そのためには、アフィンGrassmann多様体における放物型縮射に対応する操作をアフィン建物（及びアフィンBott-Samelson多様体）において導入することが重要なステップとなる。この新たな操作に対する一つの定式化を与えることはできたが、それに対する性質の解明がまだ十分にできておらず、その応用には至っていない。
半無限Young盤とは、A型アフィン量子群のレベル・ゼロ端ウェイト加群の結晶基底に対する半無限Lakshmibai-Seshadriパス模型に対応するYoung盤の類似物として、昨年度に導入した組合せ論的対象である。これは、A型アフィン量子群のレベル・ゼロ基本ウェイトを端ウェイトとする端ウェイト加群のテンソル積への端ウェイト加群の自然な埋め込みが誘導するq=0における射（を適切に変形したもの）の像として定義される。本年度は、半無限Young盤のなす柏原結晶における柏原作用素の具体的な記述を与えた。また、半無限Young盤に対する半無限Bruhat半順序を利用した特徴付けに関する部分的な結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
アフィンBott-Samelson多様体のコホモロジー群へのアフィンLie環の作用（特に、0番目のChevalley生成元の作用）の記述や、半無限Young盤に対するRobinson-Schensted-Knuth対応の類似の定式化などの課題が未解決であるため。
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| Strategy for Future Research Activity |
アフィン建物（及びアフィンBott-Samelson多様体）に対する放物型縮射の性質を調べ、その応用としてアフィンBott-Samelson多様体のコホモロジー群への0番目のChevalley生成元の作用の記述を与える。
レベル・ゼロ基本ウェイトを端ウェイトとする端ウェイト加群のテンソル積への自然な埋め込みが誘導するq=0における射（の適切な変形）の、柏原結晶射としての性質を調べ、その応用として一般の半無限Young盤に対する特徴付けを与える。同様の課題を他の古典型アフィンLie環の設定にまで拡張して考察するとともに、より一般のテンソル積への埋め込みについて、その像の記述（特徴付け）を与える。
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| Causes of Carryover |
研究を進めていく上で必要に応じて研究費を執行したため当初の見込み額と執行額とは異なったが、研究計画に変更はなく、前年度の研究費も含め、当初予定通りの計画を進めていく。
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