2016 Fiscal Year Research-status Report
ガロア表現およびその有理点問題への応用に関する研究
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16K17578
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
新井 啓介 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (80422393)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ガロア表現 / 有理点 / 志村曲線 / アーベル多様体 / ハッセ原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ガロア表現とはガロア群の表現のことだが、ガロア群そのものを理解する上で重要であり、さらに、数論幾何的対象を調べる手段としても極めて有用である。一方で、有理点問題は、多項式を用いて表される方程式の有理数解（あるいは固定された体における解）を求めるという意味で、数論において古典的かつ基本的な重要課題である。また、モジュライの有理点問題は、モジュライを定義する方程式の解を求めることに加えて、モジュライの有理点と対応する幾何的対象を分類するという意味付けもあり、数論幾何における最重要課題のうちの１つである。
アーベル多様体から定まるガロア表現や、その中に生じる指標は、そのアーベル多様体の構造により制限を受ける。そのような指標の分類を用いて、ある種の２次元アーベル多様体のモジュライである志村曲線の有理点が存在しないための新たな条件を発見した。さらに、志村曲線の代数体上のハッセ原理の反例の具体的な無限族を構成した。このような無限族は、単に存在することは既に知られていたが、具体的に見える形で構成されたのは今回が初めてである。
今年度の成果により、有理点問題がさらに前進したといえる。それから、この成果はハッセ原理という観点からも非常に有用であることが明らかになった。本研究の手法および成果は、当該問題のさらなる発展をもたらすと期待される。同時に、指標の分類を有理点の決定に応用するという従来の方法の有用性を再確認したことにもなる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ガロア表現の中に生じる指標の理解を深め、さらに志村曲線の代数体上のハッセ原理の反例の無限族を構成できたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
国内外の識者らと活発に交流、あるいは関連分野の研究集会等に参加して情報収集に努め、ガロア表現に関する理解を深め、構造付きアーベル多様体のモジュライの有理点を調べられるようにする。
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| Causes of Carryover |
旅費や物品購入額等が少なかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
パソコン関連物品の購入、書籍の購入、文具類の購入、出張旅費、人件費等
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