2017 Fiscal Year Research-status Report
ガロア表現およびその有理点問題への応用に関する研究
| Project/Area Number |
16K17578
|
|---|
| Research Institution | Tokyo Denki University |
|---|
Principal Investigator |
新井 啓介 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (80422393)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | 有理点 / 志村曲線 / ＱＭアーベル曲面 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
レベル付きアーベル多様体のモジュライを考え、そのレベルが上がったときの有理点の振る舞いを調べることは、数論における基本的な重要課題である。方程式が複雑になるとき、その解はどのように振る舞うか、という問題と密接に関連している。代表者は、QMアーベル曲面のモジュライである志村曲線の場合に研究を進めてきた。
kを類数が1より大きい虚2次体とする。このとき、有理数体上の不定符号4元数体Bで、付随する志村曲線M^Bがk有理点をもち、かつkがBを分解するようなものは（同型を除いて）有限個しかない、という定理をJordanが証明している。以前に代表者は、kがBを分解しない場合を調べ、Bの判別式の素因数に関するある種の合同式を仮定して、同様の結果を得ていた。今回は、その合同式の仮定を取り除くことができた。つまり、上記のkに対して、M^Bがk有理点をもつようなBは有限個しかないことを示した。解決の決め手となったのは、ある種の合同式の仮定が、局所的な有理点に関する結果にぴたりとはまったことである。
今回の成果は、レベルが上がったときのモジュライの有理点の振る舞いという観点での有理点問題が一般的に解決された数少ない例のひとつであり、当分野において重要な成果であると言える。さらに、本研究において、ガロア表現やその中に生じる指標を調べることに加えて、局所的な有理点に関する結果を利用することが重要であることを再認識させられることとなった。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
困難と思われた志村曲線の有理点に関する未解決問題を解決できたため。
|
| Strategy for Future Research Activity |
国内外において研究交流を活発化させる。さらに、適切な資料を収集する。そして、ガロア表現の中に生じる指標の分類を利用して、アーベル多様体から定まるガロア表現の像の形を調べる。局所的な方法も活用する。
|
| Causes of Carryover |
人件費・謝金、その他の支出が少なかったため。
パソコン関連物品の購入、書籍の購入、文具類の購入、出張旅費、人件費等に使用する予定。
|
