2018 Fiscal Year Research-status Report
ガロア表現およびその有理点問題への応用に関する研究
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16K17578
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
新井 啓介 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (80422393)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | アーベル多様体 / ガロア表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ガロア群の表現であるガロア表現や、楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体は、数論幾何における基本的な研究対象であると同時に、重要な研究の道具にもなっている。本研究では、アーベル多様体から定まるガロア表現を、その中に生じる指標を通して理解することを目的の１つとしている。アーベル多様体から定まるガロア表現やその中に生じる指標は、アーベル多様体の自己準同型環による強い制約を受けることが分かっている。そのような指標は、限られたパターンしか起こり得ないだろうと代表者は推測している。そこで、その指標のパターンを決定することが課題となっている。
このような状況の中で、これまでは主に有理数体上の４元数環による乗法をもつ２次元アーベル多様体（ＱＭアーベル曲面）から定まるガロア表現の中に生じる指標を調べてきた。さらに、その応用として、ＱＭアーベル曲面のモジュライの有理点の決定を行ってきた。
平成３０年度においては、高次元アーベル多様体であり、有理数体よりも大きい基礎体上の４元数環による乗法をもつもののガロア表現の振る舞いを調べた。特に、その中に生じる指標についての知見を得た。具体的には、性質の知られているある種の指標のべきとなり、さらにそこに現れる指数の範囲をコントロールすることができた。
今回得られた成果をもとに、上記の高次元アーベル多様体のモジュライの有理点に関する情報が得られることが期待される。さらに、ハッセ原理の反例などの数論的に興味深い現象が得られることも期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
高次元のアーベル多様体について、ガロア表現やその中に生じる指標について調べることができたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究で得た成果や知識・経験を生かして、理解が不十分なままのモジュライの有理点に関する予想を定式化し、当該分野のさらなる発展を目指す。同時に、定式化した予想をガロア表現の言葉でも表し、ガロア表現の問題としても定着させる。
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| Causes of Carryover |
人件費・謝金、その他の支出が少なかったため。
パソコン関連物品の購入、書籍の購入、文具類の購入、出張旅費、人件費等に使用する予定。
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