2020 Fiscal Year Research-status Report
ガロア表現およびその有理点問題への応用に関する研究
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16K17578
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
新井 啓介 東京電機大学, 未来科学部, 教授 (80422393)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | アーベル多様体の非存在 / 指標 / 自己準同型環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ガロア表現とはガロア群の表現のことを呼ぶが、ガロア表現は近年、数論幾何を調べる手段として広範に用いられてきた。その結果、例えばフェルマー予想が解決された。ガロア表現自体の計算は一般には困難であるが、その中に指標が現れる場合は、その指標を利用することで計算や理解が可能になる場合も少なくない。
一方で、アーベル多様体は楕円曲線の自然な高次元化であり、数論分野において、長期にわたって重要な研究対象となってきた。その中でも本研究では、モジュライの有理点という観点から、アーベル多様体の存在・非存在の条件を得ることに焦点を当てている。
代数体上定義されたアーベル多様体に伴うガロア表現の中に指標が現れると、そのガロア表現は形の上で制約を受け、さらにそのような指標の可能性は絞られてくることがこれまでの研究から分かっている。前年度までの研究により、有理数体よりも大きい基礎体上の４元数環による乗法をもつアーベル多様体のガロア表現の中に現れる指標の詳しい分類、および自己準同型環の分類を得た。
今回は、上記の乗法をもつアーベル多様体の自己準同型環の分類と指標の計算とを組み合わせて、ある種の高次元アーベル多様体の非存在のための条件を、代数的整数論の言葉を用いて明示的に記述することができた。その記述を用いて具体的な計算例を見つけることや、今回の結果をモジュライの有理点に関する結果へと結びつけることが、今後の課題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナの影響で、打ち合わせや情報収集に支障が生じたため。その渦中にありながら、ある種のアーベル多様体の非存在の条件を明示的に記述できたのは大きい。
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| Strategy for Future Research Activity |
アーベル多様体から定まるガロア表現の中に生じる指標を調べることが研究の目標の１つであった。現在、４元数環の作用する高次元アーベル多様体に関して、指標の分類およびその非存在に関する明示的・計算可能な条件が得られたところである。今後は、これまでに得られた成果を用いて、有理点の非存在に関する結果へと結び付けていきたい。
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| Causes of Carryover |
旅費、人件費・謝金、その他の支出が少なかったため。
パソコン関連物品の購入、書籍の購入、文具類の購入、旅費、人件費等に使用する予定。
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Research Products
(1 results)
