2021 Fiscal Year Annual Research Report
Research on Galois representations and applications to rational points
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16K17578
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
新井 啓介 東京電機大学, 未来科学部, 教授 (80422393)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ガロア表現 / 有理点 / アーベル多様体 / モジュライ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ガロア表現は、ガロア群の理解という見地からも、また数論幾何的対象を調べる手段といった見地からも重要である。一方で有理点問題は、多項式を用いて表される方程式の解を求めるという点から、数論における最も基本的な重要課題である。中でも特にモジュライの有理点問題は、幾何的対象を分類するといった意味においても重要性を持つ。本研究は、アーベル多様体から定まるガロア表現を、その中に生じる指標を通して理解することを目的としている。さらに応用として、アーベル多様体のモジュライの有理点問題、およびその周辺を開拓していくことを目的としている。
代数体上定義されたアーベル多様体に伴うガロア表現の中に指標が現れると、そのガロア表現は形の制約を受け、さらにそのような指標の可能性は限られてくることが従来の研究により分かっている。これまでの本研究により、有理数体よりも大きい基礎体上の４元数環による乗法(QM)をもつアーベル多様体のガロア表現の中に現れる指標の詳しい分類、および自己準同型環の分類を得た。さらに、上記のQMをもつアーベル多様体の自己準同型環の分類と指標の計算を組み合わせることで、ある種の高次元アーベル多様体の非存在のための十分条件を、代数的整数論の言葉で明示的に記述することができた。
特に今年度は、有限体上のアーベル多様体がQMをもつための必要十分条件について調べた。必要条件だけでなく、必要十分条件についても分かったことは、自己準同型環の分類という文脈でも重要な意味をもつ。
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