2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K17580
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| Research Institution | Kogakuin University |
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Principal Investigator |
森澤 貴之 工学院大学, 教育推進機構, 准教授 (50724374)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 代数体 / Z_p-拡大 / イデアル類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２９年度、研究代表者は以下の研究を行った。
１）平成２８年度までに研究代表者らは、有理数体の円分的Z_p-拡大体のイデアル類半群の構造の決定、という研究結果を得ていた。平成２９年度は、この結果をより広い対象に対して一般化した。特に、有限次代数体のZ_S-拡大体で、素数が無限に分解しないものに対し、イデアル類半群とイデアル類群の関係性を記述した。特に岩澤理論における古典的な予想であるGreenberg予想が成り立つ対象に対しては、より強い結果を示すことができた。
２）相異なる素数p,lについて、有理数体の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分の自明性に関する研究を行った。特に、lがp^2を法とする原始根である場合を考える。この場合、pが23以下の素数であるならば、有理数体の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分は自明であることが知られている。研究代表者らは、p=29、または、p=31の場合に、有理数体の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分が自明であることを示した。
３）Sを素数の有限集合とし、Sに含まれる素数は4を法として1と合同であるとする。有理数体に虚数単位iを付け加えた代数体をガウス数体とよぶ。ガウス数体上では、Sに含まれる素数は相異なる二つの素イデアルの積に分解する。各素数に対し、その上の相異なる二つの素イデアルの片方だけが分岐するZ_S-拡大体を、ガウス数体の制限分岐Z_S-拡大体とよぶ。研究代表者らは、このガウス数体の制限分岐Z_S-拡大体のイデアル類群のl-部分が自明となるための十分条件を求めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究実績１）において、有理数体上の円分的Z_p-拡大体での結果をより一般の拡大に対して拡張することができた。これにより、岩澤理論における古典的な予想とイデアル類半群の構造に関係性を見出し、新たな研究視点を得た。
研究実績２）においては、考える素数lの範囲を上手く絞りこむことで、これまでの手法では得られなかった範囲にまで研究結果を拡張することができた。
研究実績３）においては、円分的Z_p-拡大以外の岩澤理論的拡大の類数問題への第一歩を踏み出すことに成功した。
これらの点から、本研究は当初の計画以上に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、研究実績３）で得られたガウス数体上の制限分岐Z_S-拡大体のイデアル類群についての結果を拡張する。具体的には、類数１の虚二次体上の制限分岐Z_S-拡大体の場合を考える。さらに、この場合の結果を得た後には、一般の虚二次体上で同様の研究を進めていく。並行して、ガウス数体の場合に、小さな素数lについて、制限分岐Z_S-拡大体のイデアル類群のl-部分が自明であるか、計算機による計算も行う。
次に、研究実績２）の結果をより大きな素数pに対して考える。特に、円単数のq-primarityを調べることにより、一般の素数pとp^2を法とする素数lに対して、有理数体の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分が自明であることを証明する。
また、研究実績１）の結果の一般化についても研究を進めていく。これまでの研究においては「素数が無限に分解しない」という条件が重要であった。今後は、この仮定を外した岩澤理論的拡大において、イデアル類半群の構造を決定する。そのために、まずは、虚二次体上の反円分的Z_p-拡大体という岩澤理論的拡大体に注目し、研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
のっぴきならない理由により、出張がキャンセルになってしまったため。
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