2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K17580
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| Research Institution | Kogakuin University |
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Principal Investigator |
森澤 貴之 工学院大学, 教育推進機構, 准教授 (50724374)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 類数 / 単数 / Z_p-拡大 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまで研究代表者は、相異なる素数p、lについて、有理数体上の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分の自明性に関する研究を行ってきた。特に、平成２９年度においては、p=29またはp=31で、素数lがp^2を法とする原始根である場合については、有理数体上の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分が自明であることを示した。そのための手法としては、堀江の単数と呼ばれる円単数のMahler測度を計算し、lに関する不等式の評価を行うという解析的手法を用いた。さらに、青木・福田のアルゴリズムを利用した計算機による計算を行った。これらの研究を進めていく上では、堀江の単数と呼ばれる特殊な円単数が、他の単数のl乗になっているかどうかを調べる、ということが重要であった。
これに対し、平成３０年度は、これまでの研究で用いてきた主な手段である解析的な手法による不等式評価や計算機による計算を用いずに、純代数的に有理数体上の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分の自明性問題に取り組んだ。特に、導手pベキのある種の円単数については、他の単数のl乗にならないということを示した。その結果から得られる系として、すでに堀江氏によって証明されてはいるが、p=3で、lが9を法として2または5と合同である場合、有理数体上の円分的Z_3-拡大体のイデアル類群のl-部分が自明であることを、純代数的に証明することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者がこれまでに行ってきた、相異なる素数p、lについて、有理数体の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分が自明になるかどうかを調べるという研究においては、円単数のMahler測度の不等式評価や一般ベルヌーイ数と解析的類数公式を用いた不等式評価など、解析的な手法が主な研究の道具であった。さらにその不等式評価によって得られた結果と計算機による計算を組み合わせることで様々な結果を得てきた。ただし、この問題においては、素数pは無限個存在し、有理数体上の円分的Z_p-拡大体の中間体も無限に存在し、さらには素数lも無限個存在する。本研究においては、それらをまとめて取り扱う必要があり、そこをいかに回避するかが、解析的な手法と計算機を用いたアプローチにおける困難な点であった。
これに対し本年度は、有理数体上の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群のl-部分の自明性問題に純代数的にアプローチし、ある種の円単数が他の単数のl乗にならないことを示すことができた。この手法においては、無限個の素数pや無限個の代数体を同時に扱うことができる。このように、本研究における新たな研究手法を開拓できたという点において、順調に進展していると言える。
虚二次体上の円分的ではないZ_p-拡大体のイデアル類群のl-部分の自明性問題については、本年度、共同研究を進める予定であったが、共同研究者との予定があわず、思うように研究を進めることができなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究において、純代数的な手法により、ある種の円単数が他の単数のl乗にならないことを示した。その系として、p=3の場合に、有理数体の円分的Z_3-拡大体のイデアル類群のl-部分の自明性に関する部分的結果の別証明を得たわけであるが、今後は同様の方向性で、他の素数pについても有理数体の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群l-部分の自明性に関する研究を行っていく。そのためには、ノルムとべき乗の関係性が重要となってくるため、その点に注目して研究を進めていく。また、一般のアーベル体上の円分的Z_p-拡大体のイデアル類群に関しても、円単数との関係が知られている。そのため、有理数体上で得られる結果をアーベル体上へ一般化していく。
円分的ではないZ_p-拡大のイデアル類群のl-部分の自明性については、まずは、虚二次体上のP-外不分岐なZ_p-拡大体の場合に研究を進めていく。特に、虚二次体がガウス数体である場合には、すでに結果を得ており、同様の手法で類数１の虚二次体についての結果が得られることが期待される。さらに一般の虚二次体へと結果を拡張していく予定である。これらの虚二次体上の円分的ではないZ_p-拡大に関する研究は、Jack Lamplugh氏と共同研究を行う予定である。
さらに、円分的ではないZ_p-拡大体のイデアル類群に関する研究結果を得られたならば、より一般の無限次拡大に対しても研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
共同研究のためにイギリスに出張する予定であったが、先方との予定が合わず、出張することができなくなってしまったため。
繰り越し分は、次年度イギリス出張等に使用する予定である。
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