2019 Fiscal Year Annual Research Report
Class number problem in Iwasawa theoretical extensions of algebraic number fields
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16K17580
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| Research Institution | Kogakuin University |
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Principal Investigator |
森澤 貴之 工学院大学, 教育推進機構, 准教授 (50724374)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | イデアル類群 / 類数 / Z_p拡大 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者は、本研究課題の研究期間において、代数体の岩澤理論的拡大におけるイデアル類群や類数に関する研究を行った。（有限次）代数体とは、有理数全体のなす体及びその有限次拡大体のことであり、岩澤理論的拡大とは、円分的Z_p-拡大をはじめとする岩澤理論の研究に現れる無限次拡大を表す。また、イデアル類群及び類数とは、代数体の部分環である整数環における素因数分解の一意性の崩れ具合を表す指標である。
研究代表者は、主に、有理数体上の円分的Z_p-拡大体の類数に注目して研究を進めた。それにより、素数pと素数lがある条件を満たす場合には、素数ｌは有理数体上の円分的Z_p-拡大体の全ての有限次中間体の類数を割らないことを示した。研究成果の一部として、例えば、p=29で、素数lがpの2乗を法とした原始根、すなわち、lをpの2乗で割ったときの余りが2、3、11、19・・・となる場合、lは有理数体上の円分的Z_29-拡大体の全ての有限次中間体の類数を割らないことが示された。
最終年度においては、特に、p=2の場合、有理数体上の円分的Z_2-拡大体の類数に特化した研究を進めた。有理数体上の円分的Z_2-拡大体の有限次中間体の類数は、その整数環の単数群、及び、円単数と呼ばれる特殊な部分群を調べることで計算することができると知られている。そこで、この単数群、及び、円単数群をより精密に調べる、という研究を行った。特に、岡崎龍太郎氏との共同研究においては、単数群に、合同式によるフィルターと、ガロア作用によるフィルターを入れ、それらが一致することなどを示し、単数群及び円単数群の構造に関する理解を深めた。その際、円単数群に含まれる堀江の単数と呼ばれる特殊な単数が重要な働きをしていることが確認され、今後の研究の進展に繋がっていくと考えられる。
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