2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K17581
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
三内 顕義 京都大学, 数理解析研究所, 特定助教 (10610595)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | アーベル多様体 / フロベニウス写像 / シンボリックリース環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はアーベル多様体のFrobenius写像の持つ性質による特徴付け及びCowsikの問題と呼ばれるある種の環の有限生成性に関する問題の解決を行った。
先の研究により、正標数の代数閉体上の滑らかな射影多様体がオーディナリーなアーベル多様体であることは、
標準束が擬効果的であることと、構造層のFrobenius押し出しが（無限回の合成について）直線束の直和になることで特徴づけられた。今年度の研究ではこれが標数3以上の時には一回のFrobenius押し出しでチェック可能なこと標数2の時は二回のFrobenius押し出しでチェック可能なことを証明した。
また多項式環上の素イデアルのシンボリックリース環が有限生成になるか？というCowsikによる問いに対する反例の構成（標数0の場合は永田とRobertsによって行われた)を任意の体上で構成した。特に有限体上の場合はTotaroによるnefでsemi ampleでない因子を持つ曲面を元に、Poonenによる合同ゼータ型のBertiniの定理を用いること
で素イデアルに対応する代数曲線を構成した。これらの結果はpreprintとして公開した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題を考える上で重要な構造層のフロベニウス押し出しの構造についての理解が深まった。
またアーベル多様体はそれ自体魅力的な対象でありながら
様々な問題を考える上でモデルケースとして考えるべきクラスであるため
正標数のアーベル多様体のフロベニウス写像について理解が深まったことも望ましい結果である。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の枠組みをより一般化し、構造層のフロベニウス写像による押し出しと代数多様体の大局構造について
研究を続ける。その特別な場合として当初の計画であるSchwede-Smith予想について取り組む。
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