2016 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
16K17583
|
|---|
| Research Institution | Osaka Institute of Technology |
|---|
Principal Investigator |
鎌野 健 大阪工業大学, 工学部, 准教授 (50409611)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 有限多重ゼータ値 / 多重ベルヌーイ数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
通常の多重ゼータ値は反復積分を用いて表されることが知られており，Ong-Eie-Liaw は2つの多重ゼータ値の積の積分区間をうまく分割する手法を用いて，多重ゼータ値の和公式や重み付き和公式を証明している．当初の予定通り，この手法と有限多重ゼータ値のシャッフル関係式を利用することによって，有限多重ゼータ値間の関係式を得ることに成功した．本関係式は非常に複雑なものであるが，特殊化することにより，ある種の重み付きの和公式とみることができる．本結果は論文にまとめ，学術雑誌に投稿中である．今後は，有限多重ポリログに関しても同様の手法で関係式を得ること，本関係式族と既知の関係式族との包含関係について詳しく解析することを目標とする．
また，多重ゼータ値と関係のある多重ベルヌーイ数とその組合せ論的解釈の研究にも進展があった．負のインデックスの多重ベルヌーイ数は，ロンサム行列と呼ばれる行列の個数と一致し，行列がロンサムであることとある2次行列を部分行列に持たないことが同値であることが知られている．本研究では，さらにロンサム分解可能という概念を定義し，それがある2×3の部分行列を持たないことと同値であることを証明した．またロンサム分解可能な行列の個数を係数に持つ母関数を明示的に与え，それによりロンサム分解可能な行列の個数の法pでの値について詳しく解析した．本結果は論文にまとめ，学術雑誌に投稿中である．今後はロンサム分解可能な行列と多重ゼータ値がどの程度関連付くかが課題となる．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画書に記載した，有限多重ポリログの関係式を得る手法は以下の3つである．１：積分区間を分割する方法，２：ガンマ関数を用いる方法，３：双対関係式を用いる方法．
このうち，1番目の手法を用いて，有限多重ゼータ値の間の関係式を求めることに成功した．本関係式は，一般には複雑なものであるが，特殊化することにより有限多重ゼータ値の重み付き和公式とみることもできる．当初の予想通り，関係式の証明には有限多重ゼータ値のシャッフル関係式を導く積分のテクニックを利用しており，順当に研究が進んだと言える．ただし，この手法では有限多重ポリログの関係式を導くことはできず，なんらかのブレークスルーが必要だと思われる．2番目の手法については，利用したいガンマ関数の解析的結果の調査を行っている段階である．3番目の手法も現在研究途上であり，具体的な新しい結果を得られるまでは至っていない．
また新しい進展として，通常の多重ゼータ値と関係のある，ロンサム行列の研究に進展があった．ロンサム行列の拡張とみることが出来るロンサム分解可能行列を定義し，その個数について，部分行列による特徴づけ，母関数表示，素数を法とする合同式，といった通常のロンサム行列の個数と似た性質を証明できた．この結果は，ロンサム分解可能行列が素性のよい行列だということを表している．さらに，この行列の個数は金子-桜井-津村による多重ベルヌーイ数の一般化との関係も発見できており，研究上大きな進展である．
以上を総合的に判断し，(2)おおむね順調に進展している とした．
|
| Strategy for Future Research Activity |
平成28年度の研究により，多重ゼータ値の積分表示を用いて重み付き和公式などの有限多重ゼータ値の間の関係式を得ることができた．今後は有限多重ポリログに関しても，この手法を改善して関係式を得ることを目的とする．またガンマ関数を用いる手法も検討を続ける．古典的にはこの手法で高さが1の場合の関係式が導かれ，双対関係式の特殊な場合に相当する．有限多重ポリログに関してもまずそれに対応するものを見つけ，それを足掛かりに一般的な双対関係式などの有限多重ポリログの関係式を導きたい．さらにこれらの関係式族と既知の関係式族との包含関係について詳しく解析することも考える．近年新たな有限多重ゼータ値の関係式族が多く見つけられており，それらとの関係を調べる．うまく有限多重ポリログの間の関係式が得られない場合，数値計算を援用することにより，関係式の予想を立てながら研究を進める．
また本研究において初めて定義されたロンサム分解可能行列についても，さらに研究を進展させる．ロンサム分解可能行列の個数についてはまだわかっていないことも多く，解析的な問題としては，次数が増えていくときの個数のオーダー評価，組合せ論的な問題としては，対称群の部分集合の個数との関係などがある．これらを明らかにして，まずロンサム行列の理論を整備する．さらに，数論的な問題として， 通常のArakawa-Kanekoゼータ関数から多重ゼータ値の関係式が導かれるように，ロンサム分解可能行列の個数を通したArakawa-Kanekoゼータ関数の類似物から何らかの多重ゼータ値の関係式のようなものを得ることができないかを考える．これにより多重ゼータ値と繋がる研究にしていく．
|
