2020 Fiscal Year Annual Research Report
Finite type invariants and Milnor invariants by clasper theory
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16K17586
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
小鳥居 祐香 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (30737143)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 絡み目 / ミルナー不変量 / ハンドル体絡み目 / Vassiliev不変量 / Goussarov-Polyak-Viro不変量 / 仮想結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
絡み目ホモトピーとはアンビエントアイソトピーと自己交差によって生成される絡み目上の同値関係である．研究期間全体を通じて，水澤篤彦氏の協力を得て，絡み目ホモトピーに関する以下の研究成果を得た．ハンドル体絡み目とは有限個のハンドル体の３次元球面への埋め込みである．絡み目のミルナー不変量からハンドル体絡み目の絡み目ホモトピー不変量を構成した．この不変量を用いて，一般成分のハンドル体絡み目に対して，それが自明なハンドル体絡み目と絡み目ホモトピックであることと，そのハンドル体絡み目の不変量の値が消えることが同値であることを示した．さらに絡み目に対する研究として，Levineが与えた４成分絡み目の絡み目ホモトピー類全体と一対一対応する集合の幾何的な解釈を与えた．またこの集合を用いることで，４成分絡み目のいくつかの部分集合に対して，完全に分類できる比較可能な不変量を構成した．上記の研究はすべて水澤敦彦氏の協力を得て実施したものである．
また有限型不変量と呼ばれる結び目の不変量の族がVassilievによって定義されている．その一般化として仮想結び目のGoussarov-Polyak-Viro有限型不変量がある．研究期間全体を通じて，Goussarov-Polyak-Viro有限型不変量に関する以下の研究成果を得た．結び目の有限型不変量はGoussarovやHabiroにより結び目の局所変形によって幾何的解釈が与えられている．その後Stanfordによって結び目上に組み紐群を用いた同値関係が定義され，組み紐群による有限型不変量の幾何的解釈が与えられた．本研究では，Stanfordの研究の類似として，起点つき仮想結び目に対して仮想組み紐群を用いた同値関係をガウス図式により定義した．またこの同値関係が，Goussarov-Polyak-Viroにより定義されている仮想$n$-同値と同値であることを示した．
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