2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K17587
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
今城 洋亮 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 客員准科学研究員 (30742902)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Special Lagrangians / co-tangent bundles / 基本群 / Harvey Lawson T2 cone / Solvable |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まずNearby Special Lagrangianの研究について述べる。Closed Smooth Manifold MのCo-Tangent BundleのSpecial Lagrangian SubmanifoldsであってZero-Sectionに充分近いもの（以下Nearby Special Lagrangianという）をすべて決定するのが主な目標である。Mの基本群がSolvableな場合Nearby Special Lagrangianであって深谷圏のObjectを定めるものはMのSmooth perturbationとしてあらわされる。
次にHarvey--Lawson-T2-Cone型特異点について述べる。Harvey--Lawson-T2-Cone型特異点は或る意味最も単純な特異点である（実３次元Special Lagrangianの非自明な特異点のうち）。Harvey--Lawson-T2-型特異点を持つCompact Special Lagrangianの具体例（まだ１種類しか知られていない）を見るとAmbient SpaceはNodal Calabi--Yau 3-fold XのProjective Small ResolutionでありHarvey--Lawson-T2-型特異点もXの中の或るSpecial Lagrangian T2 conifold LのResolutionである。今はCalabi--Yau 3-foldとその中のSpecial Lagrangian 3-foldの対のModuli Spaceにおける（X,L)の近傍を決定するという定理の証明を書いている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記のNearby Probemについて既にのべたとおり深谷圏のObjectを定めるNearby Special LagrangianはMの基本群がSolvableな場合はMのSmooth Perturbationとしてあらわされる。MのSmooth PerturbationはMcLeanにより既に研究されており（Kodaira Spencer型の変形理論におけるObstructionがないことがしられている）したがって上記の目標は達成されたといえる。
T2型特異点の研究については現在進行中である。上に述べたように（X,L)の近傍を決定するのが目標である。そのために以下のことを実行する。まずCalabi Yau 3-foldのモジュライ空間におけるXの近傍がXのDeformationおよびSmall Resolutionにより尽くされると予想する。（このモジュライ空間の定義にはMetric Geoemtryを用いる。）XのDeformationは2種類あり１つはNodeを保つDeformation、もう１つは（Partial) Smoothingである。これらは代数幾何において既によく研究されているがSpecial Lagrangianの研究への応用をかんがえるとXのDeformationやResolutionも微分幾何的に扱うほうが都合がよい。実際にはXのDeformationおよびResolutionの存在および一意性を微分幾何のGluing methodにより証明する。Gluing methodの良いところはXのDeformationやResolutionが相当Explicitな表示が得られることである。このExplicitな表示を用いてSpecial LagrangianのDeformationおよびResokutionも得られる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記のNearby Special LagrangianについてはMの基本群がSolvableでない場合を考えたい。既に良く分かっている場合といてMがRiemann Surface of genus >1ならばNearby Special LagrangianはSpectral CurveのHyperKahler Rotationとして得られる。しかしSpectral CurveはMの複素次元１の場合特有の概念であり高次元の場合は難しい。
Harvey Lawson T^2型特異点については上記のLに対し深谷Oh太田小野の理論におけるA_infinity Maurer Cartan Equationも調べたい。LはHarvey Lawson T^2型特異点を持つコンパクトSpecial Lagrangian 3-foldであった。モジュライ空間におけるLの近傍は既に決定されているが（ここでいるモジュライ空間は幾何学的測度論の意味のカレントの空間である）その近傍のQuantum Correctionはまだわかっていない。ここでいうQuantum Correctionとは各Special Lagrangian 3-foldにBoundayを持つPseudo-holomorphic discsのCountingが定めるGenerating functionのCritical setである。この状況において各Critical pointは上記のMaurer Cartan Equationの解である。
上記の幾何学的測度論の意味のSpecial Lagrangianのモジュライ空間そのものは深谷圏とは独立だがSpecial Lagrangeの特殊性を利用するには深谷圏を使うのが現在のString TheoryとGeometryの研究においては妥当といえる。
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| Causes of Carryover |
2017年6月から2018年3月までChinese University of Hong Kongにポスドクとして滞在し、その間、以下の２点をConan Leung、Martin Liと議論した。１つは基本群がNonSolvableな場合のNearby Special Lagrangianの問題である。Special Lagrangianの次元が実２次元の場合はHyperKahler RotationによりNearby Special LagrangianはHitchinのSpectral Curveになるが、その高次元化が問題である。もう１つはSpecial LagrangianのModuli SpaceのQuantum Correctionである。ただしModuli SpaceはHarvey--Lawson T2型特異点を持つSpecial Lagrangianの近傍のみを考える。この場合はT2型特異点への退化に伴うHolomorphic-Discが存在し、それがSuper Potential FunctionのLeadin Termを与えると考えている（或る具体例において）。当時はこの議論に集中した。香港に滞在していたため旅費は不要であった。
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