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2018 Fiscal Year Research-status Report

スペシャルラグランジュ部分多様体の特異点

Research Project

Project/Area Number 16K17587
Research InstitutionNagoya University

Principal Investigator

今城 洋亮  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 博士研究員 (30742902)

Project Period (FY) 2016-04-01 – 2020-03-31
Keywordsスペシャルラグランジアン
Outline of Annual Research Achievements

ハーベイ、ローソンT2コーン型特異点を持つコンパクト実3次元スペシャルラグランジアンの具体例を構成する論文の改訂を行っている。この構成は主に2段階からなる。1つはビルディングブロックの張り合わせ、もう1つはビルディングブロックの具体例の構成である。両方とも完成させたが、先行結果と比較すると、この構成で得られるスペシャルラグランジアンのスムージングも調べるべきである。そのためにはビルディングブロックの具体例のトポロジーを丁寧に調べる必要がある。またスムージングを構成する際にはアンビエントスペースのケーラー形式も動かす方が自然である。アンビエントスペースのケーラー形式の挙動は一般的に扱えるものなのか、それとも、この具体例特有のものなのか、考えている。
重複度を持つ特異点についても考えている。カラビ、ヤウ多様体X及びXのコンパクト且つ滑らかなスペシャルスペシャルラグランジアンLを考える。LにC0の意味で近いコンパクトスペシャルスペシャルラグランジアンL'を全て決めるのが目標である。Lの基本群が非可換自由部分群を持たなければ、Lの有限被覆Kを取ることにより、L'はKの滑らかな摂動の和として表される。この基本群に関する仮定を除きたい。LのコタンジェントバンドルのファイバーとL'とのラップトフレアーコホモロジーをとれば、L上のフラットバンドルが得られる。これがスペシャルスペシャルラグランジアンの特徴で有る。フラットバンドルのモジュライを考え、そのヒッグス場からスペクトルカバーを作りたい。このことを現在考えている。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

ハーベイ、ローソンT2コーン型特異点を持つコンパクト実3次元スペシャルラグランジアンの具体例について、はり合わせの細部を見直した。張り合わせは少なくとも1980年代のヤン、ミルズ、ゲージ理論以降、非線型偏微分方程式の解の構成の常套手段になって居る。基本的なアイデアは族の陰函数定理である(ただし、族は退化する)。しかし、実際に、この族版の陰函数定理がここの幾何的状況に適用可能であることを見るためには、一般論はなく、ここの幾何的状況を丁寧に見るしかない。この部分をハーベイ、ローソンT2コーン型特異点を持つコンパクト実3次元スペシャルラグランジアンの具体例に対して行った。また、ハーベイ、ローソンT2コーン型特異点を持つコンパクト実3次元スペシャルラグランジアンの局所モジュライ理論は既によくわかって居るが、この具体例の場合に、この局所モジュライ理論が適用されるかを見るためには、この具体例のトポロジーを詳しく見ないといけない。この具体例のスペシャルラグランジアンは実代数多様体であり、そのトポロジーを初等的方法で調べた。すなわち、その実代数多様体をいくつかの部分集合のユニオンとして表し、各部分集合がS1かけるD2等に同相であることを示し、そのS1かけるD2がどのように張り合うかを調べた。さらに、そのS1が元の実代数多様体のホモロジーのサイクルになって居るか否かを調べた。

Strategy for Future Research Activity

上記の具体例について、アンビエントスペースのケーラーフォームを変えるとどうなるかも調べたい。アンビエントスペースのケーラーフォームを変えることにより、元のシンギュラースペシャルラグランジアンの新たなスムージングが得られることがある。上記の具体例の場合は、そのようなケーラーフォームのバリエーションはなさそうだが、今わたしが考えて居る証明が、この具体例特有のものなのか、それとももっと一般的に成り立つことなのか、まだはっきりしていない。この点をまず解明したい。
この具体例に限っても、まだすべきことはある。まず、この具体例で得られるスペシャルラグランジアンが深谷カテゴリーのオブジェクトを定めるかいなかを考えたい。一般に、ハーベイ、ローソンT2コーン型特異点のスムージングを行うと、そのスムージングがバウンドする正則円盤が現れる。この正則円盤が、同じスペシャルラグランジアンがバウンドする正則円盤のうち面積最小のものであることを証明したい。このスムージングが元のスペシャルラグランジアンに退化するにつれて、この正則円盤の面積はゼロに収束する。故に、このように予想する。実際の証明は、張り合わせの全射性になると思う。張り合わせはすでに述べたように1980年代以降から常套手段になって居るが、その全射性はデリケートである。しかし、この部分を解決すれば、正則円盤が定めるポテンシャル函数のリーデイング、タームが計算可能と予想する(ここはまだあまり根拠はないが)。そのクリティカルポイントを決めれば、深谷カテゴリーのオブジェクトになるかどうかわかる。

Causes of Carryover

現在、ShanghaiTech Universityで本研究計画を実行して居る。現在はC0ニアバイ、スペシャルラグランジアンの原稿を見直して居る。その一般化も考えて居る(基本群に関する条件を外したい)。この一般化は面白いができるかどうかまだわからない。リーマン面のスペクトラル、カバーの一般化に相当する。しかし、一般の場合は複素幾何は使えない。高次元でもある。今の所、ここでの研究に集中するのが最も効率的である。来年度、いくつかの研究集会、打ち合わせに行くので、その旅費に使う方が効率的である。

  • Research Products

    (4 results)

All 2018

All Presentation (4 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 4 results)

  • [Presentation] Special Lagrange 部分多様体の特異点2018

    • Author(s)
      今城洋亮
    • Organizer
      名古屋大学幾何セミナー(招待講演)
    • Invited
  • [Presentation] Singularities of Special Lagrangians2018

    • Author(s)
      今城洋亮
    • Organizer
      Second Symposium in Geometry and Differential Equations at ShanghaiTech University
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Singularities of Special Lagrangians2018

    • Author(s)
      今城洋亮
    • Organizer
      Sinica NCTS Geometry Seminar in Taipei
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 偏微分方程式とモジュライ理論2018

    • Author(s)
      今城洋亮
    • Organizer
      第2回数理新人セミナー
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2019-12-27  

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