2017 Fiscal Year Research-status Report
周期積分の圏化と安定性条件の空間上のフロベニウス構造の研究
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16K17588
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
池田 暁志 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 特任研究員 (40755162)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Bridgeland安定性条件 / 周期写像 / 導来圏 / フロベニウス多様体 / カラビ・ヤウ代数 / 三角圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は共同研究者のQiu Yu氏と共に、複素数を次元とするカラビ・ヤウ代数の構成、及びその導来圏の上のq-安定性条件の空間の構成を行った。また、これらの代数や空間について基本的な性質を調べ、様々な定理を示すことに成功した。特に、安定性条件を具体的に構成するために様々な新しい概念を導入し、q-安定性条件を構成する定理を発見することができた。それら新しい概念や定理を用いて、当初予定していた研究を大幅に進めることができた。結果として、研究計画に書いた、リーマン面上の二次微分の周期積分と安定性条件の空間の関係を、Bridgeland-SmithやHaiden-Katzarkov-Kontsevichによる知られていた理論を含む形で、より強い形の結果が得られた。また、ADE型の箙のカラビ・ヤウ代数の導来圏の安定性条件の空間の構造についてかなり具体的な予想を得ることができ、フロベニウス構造との関係を概ね明らかにすることができた。特にA型については、予想を最後まで証明を得ることができたが、これは前述のリーマン面の二次微分と安定性条件の空間の関係について得られた結果を用いてのことなので、同時進行の研究が相補的な役割をうまく果たした。
本研究の大きな２つの目的である、カラビ・ヤウ圏について、
(A)安定性条件の空間の中心電荷と周期積分の関係性を明らかにする、
(B) この安定性条件の空間Stab(D)上にフロベニウス多様体の構造を構築する、
ということについては、予想していた結果をかなり広いクラスについて得ることができたので、大幅な進展があったと言える。現在はこれらの結果を２本の論文として執筆している最中である。今後は、本研究により導入した理論のさらなる発展の方向性の研究や研究成果の発表も積極的に行っていこうと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初申請した研究計画に関しては、平成２９年度と平成３０年度の部分に関しては、当初予想していた形より強い形で研究を概ね遂行することが出来たので。今後は細かい所を詰めて、研究成果の詳細を丁寧に書いた論文を書くことを優先事項とする予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画に書いた、複素数を次元とするカラビ・ヤウ代数やその導来圏の構成、その上の安定性条件の空間の構成、ADE型の箙の場合の具体的な研究、Brigeland-Smith理論の高次元化などについては、かなりの部分が今年度進んだので、次年度はそれらをきちんと論文として完全にまとめきること、またそれらを元にした応用的な研究や発展的な研究を進めていこうと考えている。また、一部はまだ完遂できていない部分があるので、その部分についても完遂しようと考えている。
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| Causes of Carryover |
初年度に必要な備品等の購入を行ったため、今年度は備品に費用がかからなかった。また、今年度は出張を減らして研究に専念したため、旅費に予想よりも費用がかからなかった。平成３０年度は、共同研究者の招聘、及び共同研究者の訪問や、今年度研究に集中することで得られた成果の発表のための出張を積極的に行って、予算を使用する予定である。
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Research Products
(3 results)
