2018 Fiscal Year Annual Research Report
Handle decompositions and smooth structures of 4-manifolds
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16K17593
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
安井 弘一 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | トポロジー / ４次元多様体 / 微分構造 / ハンドル体 / 結び目 / コルク / Stein 多様体 / Bauer-Furuta 不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成 30 年度の主な成果は以下の通りである。
(1) １ハンドルのないハンドル分解を持つ多様体は幾何学的単連結と呼ばれる。「全ての単連結閉４次元多様体は幾何学的単連結か？」という問題は、４次元トポロジーの懸案の問題であり、エキゾチック微分構造の存在問題とも密接に関連している。また、非常に多くの単連結閉４次元多様体が幾何学的単連結であることが知られている。この問題へのアプローチとして、幾何学的単連結閉４次元多様体に共通する新しい性質を発見した。特に、b+>1 の全ての正定値幾何学的単連結閉４次元多様体はその Bauer-Furuta 不変量 (安定コホモトピー Seiberg-Witten 不変量) が自明であることを示した。さらに、 b+ と b- に関する適当な仮定の下では、全ての幾何学的単連結閉４次元多様体が少なくとも一方の向きに関してシンプレクティック構造を許容しないことを示した。また、これらの証明は Bauer-Furuta 不変量の斬新な使用法を与えている。成果をまとめた論文は学術誌 Geometry & Topology に掲載受理された。
(2) ４次元多様体上の微分構造と切り貼りの関係について論じた論文の改訂を行った。この論文は学術誌 Transactions of the American Mathematical Society に掲載受理された。
(3) 平成 30 年 9 月 6 日～10 日に国際会議「Four Dimensional Topology」（世話人：鎌田聖一、安井弘一、松本堯生、河村建吾）を大阪市立大学で開催し、また月に 1、2 回程度の頻度で大阪大学４次元トポロジーセミナー（世話人：安井弘一、菊池和徳）を開催した。国際会議には国内外から約 90 名の参加者があり、盛会だった。
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