2018 Fiscal Year Research-status Report
擬リーマン対称空間上の固有な群作用の組合せ論的手法を用いた研究
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16K17594
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
奥田 隆幸 広島大学, 理学研究科, 講師 (40725131)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Lie 群 / 不連続群 / 対称空間 / 固有な作用 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
G を Lie 群とし, X を G が推移的に作用する多様体(等質空間)とする.本研究の目的は, (G,X)-多様体と呼ばれる種類の多様体をたくさん構成することである. (G,X)-多様体には X 上の G-不変な局所構造が移植されるため, 豊富な幾何構造を持つ多様体が得られることになる. (G,X)-多様体の構成にあたり有用な方法の一つは 「G の部分 Lie 群 L であって X に固有に作用するものを構成する」というものである.
本研究では特に G が半単純 Lie 群であり, X が擬リーマン対称空間であるような場合において, 上記のような L の構成についての研究を行っている. 報告者の以前の研究により, L が SL(2,R) と局所同型であるような場合においては, そのような L の分類や構成についての結果が知られていた.本研究のテーマはこのような結果を L が SO(n,1) や SU(n,1) と局所同型であるような場合について一般化することであった.
当該年度の研究により, G が例外型と呼ばれるクラスのリー群という設定において, X に余コンパクトかつ固有に作用するような簡約型な L が存在しないことの証明に成功した (論文準備中).
またこの結果の部分多様体論的な考察(リーマン対称空間における全測地的部分多様体論への応用)も併せて進めている.これらの結果は, 複素半単純リー環論ではよく知られている Dynkin index の理論を, 実半単純リー環に部分的に拡張して得られたものである,
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の遂行にあたり例外型と呼ばれるクラスは最も調べるのが難しい対象であると考えられる. 当該年度の研究において, そのようなクラスにおいては有望な例があまり存在しないことが分かった. このため, より簡単なクラスの研究に集中できる下地が整った.
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度までの研究において, Dynkin index という指標が本研究において重要な役割を果たすことが分かってきた.
Dynkin index に理論には未整備な点も多く, まずはこの理論の整備を行うべきであると考えている.
この理論を用いて G が real rank 2 の場合には本研究は大きく進展している.
今後は理論の整備と並行して, より複雑なケースの考察も行いたい.
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| Causes of Carryover |
平成３０年度は出張費として見込んでいた予算のうち, 滞在費支給の形で招聘されたものが多くあり, そのため支出が予定を下回る形となった.
令和元年度には研究集会に研究者を招聘する予定があるなど多くの予算が必要となる.
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