2016 Fiscal Year Research-status Report
カンドル代数を用いた結び目不変量の再定式化と一般化および応用
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16K17600
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 助教 (90609091)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 結び目 / 仮想結び目 / 絡み目 / 仮想絡み目 / 捩れアレキサンダー不変量 / カンドルコサイクル不変量 / up-down 彩色 / bracket |
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| Outline of Annual Research Achievements |
次のことを行った。
１．筑波大学の石井敦氏の協力の元、正規化された捩れアレキサンダー多項式やカンドルコサイクル不変量を誘導する行列形式の不変量を構成した。これは、捩れアレキサンダー多項式の一般化を与えるのみならず、捩れアレキサンダー多項式の計算を単純化するものである。また、正規化によって、``よく知られた"捩れアレキサンダー多項式よりも強い性質を持つことが期待できる。
２．Claremont McKenna CollegeのSam Nelson 氏と群馬工業高等専門学校の清水理佳氏、矢口義朗氏との協力の元、biquandle virtual bracket を用いた（仮想）絡み目の不変量を構成した。また、その不変量は可逆性や非もろ手型の判定に有効であることを証明した。この研究を遂行するために、Sam Nelson 氏のもとを訪ね、研究打ち合わせを行った。その成果を論文として纏め、提出した。
３．群馬工業高等専門学校の清水理佳氏、矢口義朗氏との協力の元、up-down coloring と仮想結び目のライデマイスター変形IIの必要性についての研究を行った。ライデマイスター変形IIの必要性についての研究は、これまでにも行われてきたが、それらは正則図形の形に注目した研究であった。我々の研究によって、代数系の彩色を用いた研究が初めて与えられた。「任意の仮想結び目図式Ｄに対し, Ｄと同値なある仮想結び目図式Ｄ’が存在し, ＤとＤ’の間には必ずライデマイスター変形IIが必要である」という性質を証明した。この成果を論文として纏め、提出した。また、Claremont Topology Seminar や 第７回茨城工業高等専門学校数学セミナーで発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は、カンドルを用いて既知結び目不変量の再構成を行い、一般化によって、より強い不変量の構成を行うことである。
石井氏との研究では、正規化された捩れアレキサンダー多項式やカンドルコサイクル不変量を誘導する行列形式の不変量を構成したが、これは、捩れアレキサンダー多項式の一般化を与えるのみならず、捩れアレキサンダー多項式の計算を単純化するものである。また、正規化によって、``よく知られた"捩れアレキサンダー多項式よりも強い性質を持つ可能性がある。従って、これまでの研究は順調に進んでいると言える。一方で、具体例の構成には至っていないため、今後も研究を進めていく必要がある。
また、Sam Nelson氏、清水理佳氏、矢口義朗氏との研究では、バイカンドル彩色つきのスケイン関係式を考え、バイカンドル彩色にも依存する多項式不変量を構成した。これは、スケイン関係式から定義される他の結び目不変量を含んでいる可能性があるが、具体的にどのような既存不変量を含んでいるかはわかっていない。今後も研究を進めていくつもりである。
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| Strategy for Future Research Activity |
石井氏との研究によって構成した、正規化された捩れアレキサンダー多項式やカンドルコサイクル不変量を誘導する行列形式の不変量について、具体例の構成を行う必要がある。いくつかのカンドルやその他道具を用い、具体的な結び目や絡み目について、計算機（Mathematica）を用いて不変量の計算を行う。また、その成果を論文として纏め、発表する。
Sam Nelson氏、清水理佳氏、矢口義朗氏との研究で構成した、biquandle virtual bracket を用いた（仮想）絡み目の不変量について、どのような既存の結び目不変量を含むのかを明らかにする必要がある。具体的には、アレキサンダー多項式やジョーンズ多項式が我々の不変量に含まれるかを確認する。必要ならば、Sam Nelson氏の元を訪ね、研究打ち合わせを行う。
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Research Products
(4 results)
