2018 Fiscal Year Research-status Report
カンドル代数を用いた結び目不変量の再定式化と一般化および応用
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16K17600
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 准教授 (90609091)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | カンドル / local biquandle / アレキサンダー不変量 / Fox微分 / 5-move |
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| Outline of Annual Research Achievements |
群表示(+追加情報)が与えられたとき, Fox微分を用いてアレキサンダー行列を構成し, そこからアレキサンダー多項式などの様々な不変量を取り出すことができる. 群表示の一般化としてカンドル表示が知られているが,カンドルに対するアレキサンダー対を用いたFox微分を定義し, 群表示から得られる不変量達の一般化を行った. また,一般化された不変量が５-move同値性の研究に応用されるということを証明し, いくつかの具体的計算, ５－move同値でない結び目対の具体例構成などを行った. この研究成果を国際会議で発表した. 以上の研究は筑波大学石井敦の協力のもと行った.
Niebrzydowskiによって導入されたknot-theoretic ternary-quasigroupの理論（結び目図式の領域彩色に対応する代数系の理論）について, local biquandle 理論を用いた解釈を与えた. このことによって, knot-theoretic ternary-quasigroupの理論を,よく知られているbiquandle理論のように解釈することができるようになった. また, 結び目図式の領域彩色やそこから得られるコサイクル不変量についても, よく知られている結び目図式のbiquandle彩色やコサイクル不変量を扱うように解釈できる. この研究成果を国内の研究集会及び日本数学会で発表した.また, 国際雑誌での論文発表も決定している. この研究は Claremont McKenna CollegeのSam Nelson 氏, 秀明大学の大山口菜都美氏の協力のもと行った.
得られた研究の成果を国内会議や国際会議で発表した. また, 米国で開催されたアメリカ数学会の会議「Meeting #1147」では, セッションの世話人として研究における情報共有の機会を提供した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では, 既存不変量に対しカンドルやバイカンドルを用いた解釈及び一般化を与え, より強力な不変量構成(または計算の簡単化)を目指している.2018年度については, Fox微分のカンドルを用いた一般化を与え, 一般化されたことによって可能になった5-move 同値性への応用方法を紹介することに成功した. また, knot-theoretic ternary-quasigroupの理論については, 個人的な主観ではあるが非常に複雑なものに感じる点があったところを, よく知られているbiquandle理論のように解釈することができるということを証明した.以上のことについては, 既存不変量に対しカンドルやバイカンドルを用いた解釈及び一般化を与えることに成功したと言える成果である.
ただし, 2018年度の研究計画に挙げていたアレキサンダー不変量やコサイクル不変量を含む結び目不変量の族についての曲面結び目への応用については, 具体的な成果をまだ得ていない. この研究については2019年度も引き続き行っていく予定である.
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| Strategy for Future Research Activity |
● 2018年度までの研究によって与えられたカンドルやバイカンドルを用いて一般化された不変量について,具体的な計算例や応用例の構成を引き続き考える. 沢山の応用例を与えることで, 結び目理論全体の研究発展に貢献したい. 特に, カンドルを用いて一般化されたFox微分について, 正規化された結び目不変量を取り出す方法を考える. そのことで, より強力かつ計算簡単化が与えられた不変量の構成を目指す.
● 曲面結び目図式のカンドル彩色状況から,捩れAlexander行列に相当する(若しくは一般化となっている)行列を取り出す手法について考える.またそこから得られる不変量の正規化（よくある単元倍を除いた不変量の取り出し方ではなく, 値が一意に定まる方法）について考える. 得られた不変量の具体的計算例や応用方法についても考える.
● 他の既存結び目不変量についても, 常に問題点, 他の研究対象との関連性を探りだし, カンドル代数を用いた再定式化について考えたい. そのことで, 計算の単純化かつ強力な新しい不変量構成を狙う.
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