写像類群による4次元トポロジーの地誌学と手術の研究

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K17601
• Research Institution: Osaka Electro-Communication University
• Principal Investigator: 門田 直之 大阪電気通信大学, 工学部, 講師 (60611986)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 4次元シンプレクティック多様体 / 地誌学 / 写像類群

Outline of Annual Research Achievements

極小な４次元シンプレクティック多様体のオイラー標数と符号数の組の分布を地誌学という（以下, 簡単に地誌学と呼ぶ）. ４次元シンプレクティック多様体に入る構造として, Lefschetz fibrationとLefschetz pnecilが知られている. これらの２つの構造は親戚のようなものであるが, 大きな違いがある. 例えば, 任意の４次元シンプレクティック多様体に対しLefschetz pencilの構造は入るが, Lefschetz fibrationの構造が入らない４次元シンプレクティック多様体がある. 申請者は, 地誌学の観点から, Lefschetz pencilとLefschetz fibrationの違いを考察した. つまり, Lefschetz fibrationの構造が入る点で地誌学上の点となるものが存在するかどうかを調べた.
申請者は地誌学におけるNoether不等式を満たさない領域のすべての点（特に多様体は単連結）に対し, Lefschetz fibrationの構造が入ることを示した. Noether不等式を満たさない多様体に対し, Lefschetz fibrationの構造が入る例はFintshel-Sternにより構成されていたが, それらはある直線上のみであった. その意味で, 今回の例はより広い領域に対し構成され, Fintshel-Sternの例の一般化であると考えることができる. これらの例の構成により, 地誌学おけるNoetehr不等式の満たさない領域については, Lefschetz pencilとLefschetz fibrationの違いが（大きくは）見られないことがわかった. 上記の研究はミネソタ大学のアフメドフ氏との共同研究である.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究実績の概要で述べた内容は, 申請書で記載したslope不等式を破る例の構成とは異なる内容の話題であった. しかしながら, slope不等式を破る例の構成の際に浮かんだ手法やアイデアを使って得られた結果である. そういった意味で当初の目標とは違ったが, 良い結果を得られたことから, おおむね順調に進展しているとした.

Strategy for Future Research Activity

研究実績の概要で得られた例はすべて単連結である. そこで与えられた有限表示群を基本群に持つような例で, Noether不等式を満たさない領域に対し, Lefschetz fibrationの構造を入れたい. 方法はGurtas氏の構成したLefschetz fibrationに同型なものを考え, fiber sumを施し, 得られたものに有理ブローダウンを施す. そうするとNoether不等式を満たさない領域上の多様体が得られる. このときにfiber sumの仕方を工夫することで様々な基本群を持つ例を構成したい. また, 曲面上の曲面束で符号数が０でない例の構成を目指す. 写像類群のLantern関係式とChain関係式を上手く変形し, 交換子の積で表すことで, 目標とする例の構成が可能である. 交換子の積で表す新たな手法が幾つか得られたので, それらを用いる.

Causes of Carryover

大学の研究費を主に使用したため, 予定より少ない支出額になった.

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度は海外出張のほか,幾つかの研究集会に出席する. また, 研究集会を開き, 数人の研究者を招待するため, それらの費用に使いたい.