2017 Fiscal Year Research-status Report
写像類群による4次元トポロジーの地誌学と手術の研究
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16K17601
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
門田 直之 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (60611986)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 曲面上の曲面束 / 写像類群 / 安定交換子長 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
様々な数学者により, 全空間の符号数が消えないような曲面上の曲面束の構成がなされてきた. 底空間の種数が1以下, ファイバーの種数が2以下のとき, 全空間の符号数が消えることが知られている. 底空間の種数が2の場合の例は, Brayn-Donagiにより構成されているが, それらのファイバーの種数や符号数は散発的であった. 申請者は, 底空間の種数が2の曲面上の曲面束で, 取りうる符号数の値をすべてもつような例を構成した. 特に, 構成した例は, 符号数に依存するある値以上のすべての値を種数にもつ上に, 自己交差数0の切断を許容する. Brayn-Donagiの例は切断をもっているかどうかはわかっていないため, 符号数やファイバーの種数, 切断の存在において, Brayn-Donagiの例を改善した例を構成した. 自己交差数0の切断を持つと, 切断和という操作を行うことができ, さまざまな曲面上の曲面束を得ることができる. 系として, 底空間の種数が2の非正則な曲面上の曲面束で符号数が消えない例を構成することができた. その他にも, 知られている例の中で最もオイラー標数が小さいような符号数が消えない曲面上の曲面束を構成した.
上述の構成は写像類群を組み合わせ的に扱うことで得られる. このときに得られた組み合わせ的な技術を用いて, Dehn twistの安定交換子長に対し, より鋭い上界を与えた. 特に, 種数がある程度大きい場合, 超楕円的写像類群と写像類群のDehn twistの安定交換子長の値にはギャップが現れることを示した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記2つの結果は, 申請時に記載していたものが計画通りに得られたものである. また研究実績の概要には記述していないが, その他にのKirbyの問題集にある問題の解決へのアプローチとなるような例を得ている. このような理由から, おおむね順調に進展しているとした.
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| Strategy for Future Research Activity |
申請時に計画していた, 代表的な4次元多様体に入るLefschetz pencilの例の構成に取り組む. シンプレクティックK3曲面に何回かのブローダウンを行ったものには種数3のLefschetz pencilの構造が入ることがわかっている. このモノドロミーを観察すると, 種数3の曲面の写像類群のある関係式にLantern関係子, Chain関係子の置き換えを行うことで得られることがわかる. そこで種数4以上の曲面の写像類群の同様の関係式に対し, やはりLantern関係子, Chain関係子の置き換えを試してみることで, シンプレクティックK3曲面(の何回かのブローダウン)に種数4以上のLefschetz pencilの構造が入るとを証明する.
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Research Products
(2 results)
