2019 Fiscal Year Research-status Report
表現論を用いた大対蹠集合の堅いデザインによる特徴付けの研究
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16K17604
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| Research Institution | Kitakyushu National College of Technology |
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Principal Investigator |
栗原 大武 北九州工業高等専門学校, 生産デザイン工学科, 准教授 (60637099)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 対称R空間 / 大対蹠集合 / デザイン理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、コンパクト対称空間（より具体的には対称R空間）上の「大対蹠集合」と呼ばれる有限個の点の配置について「デザイン」と呼ばれる良い組合せ構造が入ることを示し、大対蹠集合の幾何構造の“良さ”と組合せ構造の“良さ”の関係性を追求することを目的とする。今年度の目標は大対蹠集合と相性の良い関数空間を探すことにした。例えば、球面S^nの大対蹠集合は北極と南極の2点集合であるが、この2点集合とデザイン理論的に相性の良い関数空間は「奇次数多項式全体の空間」である。さらにこの中でも一番基本的な関数は1次斉次多項式である。これは見方を変えれば、球面S^nの高さ関数と言える。
この事実を対称R空間に拡張すると、対称R空間の大対蹠集合とデザイン理論的に相性の良い関数空間は「長野の帯球関数」と呼ばれるモース・ボット函数を含む関数空間ではないかという予想がたった。現在はこれに関する理論を整備中である。
一方で、対称空間の公理を代数的に捉えるとカンドルという枠組みが当てはまる。群から得られるカンドルとして、一般化アレキサンダーカンドルと呼ばれるものがある。群が対称群S_nの場合に一般化アレキサンダーカンドルの"分類"を行い、nが小さい場合に分類を完成させることができた。基本的にはS_nの一般化アレキサンダーカンドルは自己同型群Aut(S_n)の共役類で大雑把に分類できるが、もちろん異なる共役類に対してカンドルとしては同型になる可能性がある。特にn=6の場合はS_6の自己同型群がS_6そのものにはならない。そのような状況に対してもn=9以下の場合に完全に分類ができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記の通り、一般の対称R空間の大対蹠集合と相性の良い関数空間は今まで捉えることができなかったが、長野の帯球関数と呼ばれる性質の良い関数との繋がりが見えたことは進展していると言える。この関係性をさらに深く見ることより今後更なる研究の発展が期待できる。
また当初予定していなかったカンドルとの関連も見つかり、特に有限群に付随するカンドルの研究の必要性が生じた。そのカンドルの研究でも論文としてまとめる結果が出て、現在論文を執筆中であるので研究は進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは対称R空間の中で具体的なものとして、コンパクト型既約エルミート対称空間の6つについて、長野の帯球関数と大対蹠集合のデザイン論的な関係性を見ていく。各空間の中で、標準的な等質空間表示M=G/Kとしたとき、GがB, C型の場合は本来求める関数空間と長野の帯球関数に付随する既約表現空間がずれる可能性がある。その場合のズレを究明していく。そのズレの理由が解明すれば、一般の対称R空間でもうまくいくことが予想される。
一方でS_nの一般化アレキサンダーカンドルについては、まずはより大きいnに対して分類を一つずつ済ませていく。そこで途中障害が起きた場合、新たなカンドル不変量を見つけたり、うまいカンドル同型写像を見つけていくことで分類の精度をあげる。このように分類の武器を着実に増やして、最終的には全てのnに対して分類を完了したい。また、今考えている一般化アレキサンダーカンドルは対称群に付随するものであったが、もちろん他の有限群についても同様に一般化アレキサンダーカンドルが定義され、分類問題が考えられる。したがって、対称群の問題が解決したら、次に完全な有限群（自己同型群が元の群そのものと同型になるもの）について一般化アレキサンダーカンドルの分類問題に着手する。
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| Causes of Carryover |
想定していたより深遠な理論が背後に潜んでいることがわかり、計画していたこと以上に調べることが増えて予定通りの予算の使い方ができなかった。 予定通りにいかなかった最大の原因は結果をまとめることができず、予定していたより研究集会での発表がすくなくなったことである。 また、新型コロナウイルスの世界的拡大により参加予定の研究集会も中止になったことも理由の一つである。
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