2018 Fiscal Year Annual Research Report
Modulation space and its applications to PDEs
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16K17606
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
小林 政晴 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (30516480)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | モジュレーション空間 / ウィナーアマルガム空間 / 作用関数 / 波面集合 / 分散型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モジュレーション空間に関する「基本課題の解明」と「偏微分方程式への応用」に関する研究を行い、研究期間全体を通じて以下の成果を得た。
(1)BihimaniとRatnakumarは2016年に非線形シュレーディンガー方程式と非線形クライン・ゴルドン方程式の研究において、もし関数Fがモジュレーション空間上作用するならばFは解析的な関数でなくてはならないこと(モジュレーション空間におけるKatznelson型の定理)を証明した。しかし、彼らの論文やその後に発表されたBihimaniによるウィーナーアマルガム空間と作用関数の研究にも述べられているように、この定理の逆が成り立つかどうかは未解決であったが、佐藤圓治氏(山形大学)と共同研究においてFが実解析関数ならばモジュレーション空間上作用するが示せた。我々の方法はウィーナーアマルガム空間に対しても応用可能であることが分かった。
(2)G.Follandは1989年に正で対称な急減少関数を基本波束とする波束変換を用いたSobolev空間型の波面集合の特徴づけを行った。
その論文の中で彼は基本波束が正で対称な急減少関数であることが必要であるかという問題を提示した。今回加藤圭一氏(東京理科大学), 伊藤真吾氏(北里大学)との共同研究で得られた成果はこの問題に対する答えであり、基本波束が0でない急減少関数を基本波束とする波束変換でもSobolev空間型の波面集合の特徴づけることが可能であることが分かった。
(3)シュレディンガー方程式やエアリー方程式を含むような高階の分散型方程式の解を短時間フーリエ変換を用いて表すことに成功した。この表示を用いてモジュレーション空間の枠組みにおける高階の分散型方程式の解のストリッカーツ型評価式を得ることが出来た。(加藤圭一氏、伊藤真吾氏、高橋直氏との共同研究)
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