2018 Fiscal Year Research-status Report
無限次元構造の作用素(環)論的研究と記述集合論への応用
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16K17608
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
安藤 浩志 千葉大学, 大学院理学研究院, 特任助教 (40767266)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | von Neumann環 / Bicentralizer / III型因子環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はUffe Haagerup, Cyril Houdayer, Amine Marrakchi氏と共同でIII_1型因子環のbicentralizer環の構造研究を行った。具体的にはN,Mを可分な前共役空間を持つ因子環の包含(忠実正則条件付き期待値Eを持つとする)N⊂M, NをIII_1型とするとき、Eと可換な忠実正則状態φに関するbicentralizerB(M,φ)の上にbicentralizer flowという加法群Rの連続作用を構成した(このflowは最初にUffe Haagerup氏によって発見されたが, 後に別の方法でMarrakchi氏により再発見された)。このflowはφの漸近固有ベクトルとのintertwining関係式によって特徴づけられ、bicentralizer自身と共に、包含N⊂Mの重要な情報を提供する事がわかった。1例として、flowがエルゴード性を持つ事と, Mのirreducible hyperfinite subfactor Pで, Nに忠実正則条件付期待値の像であるものが存在する事とは同値である。また、強い意味でのKadisonの問題, すなわち包含N⊂Mが共通のMaximal abelian subalgebra A⊂Nで, 忠実正則条件付期待値の像となるものが存在する事と、relative bicentralizerが自明(=C1)となる事は同値である。また、III_1因子環と他の因子環のテンソル積のbicentralizerがいつ自明となるかについても考察した。具体的にはMをσ有限III_1型因子環、Nをσ有限因子環とし、MとNのテンソルがtrivial bicentralizerならば、MにAFD III_1因子環Rをテンソルしたものはtrivial bicentralizerを持つ事がわかった。論文は現在投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
bicentralizerの上にflowが存在する事がわかってからしばらくは何の進展もなかったが、bicentralizer flowを因子環の包含に対して一般化して定義して置くことで、部分因子環の構造について興味深い結果を得る事が出来たのは予想外の進展だった。また一連の考察で, bicentralizer flowが常にエルゴード性を持つのではないかとの予想を持った。これについては今後の課題としたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
relative bicentralizer flowは, Connes-竹崎のflow of weightsの理論に強い影響を受けている。実際, noncommutative flow of weightsをbicentralizer flowと同様に定義する事ができるが、両者の性質は酷似しており、同型である可能性もでてきた。今後はこの類似性の起源を追求してbicentralier環の考察をする事が重要になるのではないかと考えている。
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| Causes of Carryover |
日帰り出張業務を1つ諸事情で中止したため。
次年度の日帰り交通費に使用を予定している。
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