2017 Fiscal Year Research-status Report
粒子と量子場の相互作用系に対する束縛条件の導出と繰り込みの研究
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16K17612
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
佐々木 格 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (50558161)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | スペクトル解析 / Pauli-Fierzモデル / 準相対論的Pauli-Fierzモデル / Bogoliubov変換 / 基底状態 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでに得ていた準相対論的Pauli-Fierzモデルの基底状態の存在についての結果の改良を行った。既存の我々の研究では，荷電粒子と電磁場との相互作用の大きさを決める結合関数が無限回微分可能で有界な台を持つことを仮定していた。そのような仮定はこのモデルについては強すぎると考えられ，より弱い条件で同様の結果が成り立つことが望まれた。私は日高氏，廣島氏（九州大）との共同研究で，結合関数に関する条件を弱めた上で基底状態の存在を証明することができた。結果については現在論文を執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
昨年度までに準相対論的Pauli-Fierzモデルの基底状態の存在証明は完了していたが，仮定が強かったため，これをより弱く自然な条件にするために研究時間を費やした。元の（強い）条件を仮定しない場合，質量を持たせて正則化した基底状態がそもそも個数作用素の定義域に入らない可能性があることがわかり，個数作用素についての交換関係が使えない可能性が出てきた。そこで我々は正則化したモデルの基底状態は個数作用素の1/2乗の定義域には入ることを示し，その問題を迂回することにしたが，これによって当初考えていたより評価が複雑になってしまった。そして予定していた他の研究を進展させることができなかった。
また，当初は2次の相互作用を持つ量子場のモデルについて，それの基底状態エネルギーの紫外発散をBogoliubov変換を用いて解析する予定であったが，2次のBogoliubov変換が当初思っていたより複雑であることがわかり，モデルの解析は進展しなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 準相対論的Pauli-Fierzの基底状態の存在の改良した証明を再確認して論文執筆を行う。次に考えられるのが，多体のフェルミオン系の準相対論的Pauli-Fierzモデルの束縛条件の証明である。まず，Schrodinger作用素についての既存研究を調査し，このモデルでも使える評価方法が開発されていないか調べる。
(2) 2次のBogoliubov変換の既存研究を整理することによって，この変換を用いた研究についての見通しを立てる。Bogoliubov変換を使うことによって自己相互作用に現れるエネルギーの評価が可能ならば，2次の相互作用をもつNelsonモデルの解析ができると考えられる。
(3) 場の量子論で重要なモデルであるスピンボソンモデルの基底状態の解析も行う。スピンボソンモデルは場の1次の相互作用素しか持たないモデルであるが，Feshbach mapによってハミルトニアンの変換を行うと2次の相互作用をもつ量子場のモデルとなり，それによって赤外正則となることが，結合定数が小さい場合には知られている。Bogoliubov変換を用いてスピンボソンモデルの基底状態の解析を行うことで，全ての結合定数に対してモデルは赤外正則であり，基底状態が赤外正則化無しで存在することが証明できると予想している。
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