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2017 Fiscal Year Research-status Report

完全WKB解析による団代数および位相的漸化式の研究

Research Project

Project/Area Number 16K17613
Research InstitutionNagoya University

Principal Investigator

岩木 耕平  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (00750598)

Project Period (FY) 2016-04-01 – 2020-03-31
Keywords完全WKB解析 / Voros係数 / 位相的漸化式 / 量子曲線
Outline of Annual Research Achievements

今年度は主に位相的漸化式と完全 WKB 解析の関係についての研究を行った。

藤博之氏 (香川大), 真鍋征秀氏 (Max Planck) および佐竹郁夫氏 (香川大) との共同研究で, 量子コホモロジーが定める Frobenius 構造に付随した微分方程式 (量子微分方程式) と, 位相的漸化式による量子化との関係について研究した。具体的には, 量子コホモロジーの定義関係式をスペクトル曲線の定義方程式と見なし, 位相的漸化式を適用して量子化を行うと, 量子微分方程式が得られることを示した。副産物として, CP1 の同変量子コホモロジーに付随する量子微分方程式の Stokes 構造において, Gaiotto らによる壁越え構造が存在することも示した。これらの結果はプレプリント (arXiv:1708.09365) にまとめ, 現在投稿中である。

また, 小池達也氏 (神戸大)、竹井優美子氏 (神戸大) との共同研究で、近年急速に発展している量子曲線のテクニックを用いた位相的漸化式による WKB 解の構成を援用し、完全 WKB 解析における Voros 係数と位相的漸化式の自由エネルギーの間の明示的な関係式を導くことに成功した。位相的漸化式の自由エネルギーを、あるパラメータの方向に差分を取ることで様々なサイクルに付随した Voros 係数が得られることが分かり, さらにその関係式から自由エネルギーの具体的表示を導くことにも成功した。これらの結果は現在準備中の論文にまとめる予定である。この関係式は、Painleve 方程式のタウ関数の構成において重要な役割を果たすと期待している。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

位相的漸化式の自由エネルギーと Voros 係数の関係を見出せたので、本課題のテーマの一つであるクラスター代数と位相的漸化式の間に架け橋がつながった。しかし、高階方程式の Voros 係数の理論の整備と, そのクラスター代数との関係に関する研究はまだ未着手である。

Strategy for Future Research Activity

次年度は3階以上の高階線形方程式の Stokes グラフの変異を詳しく調べ、それを元にクラスター構造の研究にも着手したい。また、種数が高いスペクトル曲線に対する位相的漸化式と WKB 解析の関係性を定式化することも課題である。

  • Research Products

    (12 results)

All 2018 2017 Other

All Int'l Joint Research (2 results) Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 3 results) Presentation (7 results) (of which Int'l Joint Research: 7 results,  Invited: 7 results)

  • [Int'l Joint Research] Lyon/Tours(France)

    • Country Name
      France
    • Counterpart Institution
      Lyon/Tours
  • [Int'l Joint Research] Virginia(米国)

    • Country Name
      U.S.A.
    • Counterpart Institution
      Virginia
  • [Journal Article] Painlev\'e equations, topological type property and reconstruction by the topological recursion2018

    • Author(s)
      Iwaki K.、Marchal O.、Saenz A.
    • Journal Title

      Journal of Geometry and Physics

      Volume: 124 Pages: 16~54

    • DOI

      10.1016/j.geomphys.2017.10.009

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Exact WKB analysis of Schr\"odinger equations with a Stokes curve of loop type2018

    • Author(s)
      Takashi Aoki、Kohei Iwaki、Toshinori Takahashi
    • Journal Title

      Funkcialaj Ekvacioj (掲載予定)

      Volume: 未定 Pages: 未定

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Painlev\'e2 Equation with Arbitrary Monodromy Parameter, Topological Recursion and Determinantal Formulas2017

    • Author(s)
      Iwaki Kohei、Marchal Olivier
    • Journal Title

      Annales Henri Poincar\'e

      Volume: 18 Pages: 2581~2620

    • DOI

      10.1007/s00023-017-0576-z

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Topological recursion and Voros coefficients2018

    • Author(s)
      Kohei Iwaki
    • Organizer
      International Symposium, RIKKYO MathPhys 2018, Rikkyo Univeristy, 12-14 March, 2018.
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Exact WKB Analysis and Cluster Algebras2017

    • Author(s)
      Kohei Iwaki
    • Organizer
      Quantum groups, special functions and integrable systems, LMPT Tours, France, 17-19 May 2017
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Exact WKB analysis and related topics (4 lectures)2017

    • Author(s)
      Kohei Iwaki
    • Organizer
      School and International Conference on Geometry and Quantization (GEOQUANT 2017), Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces, University of Aarhus, Denmark, July 31, August 11, 2017.
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Exact WKB analysis and Voros symbols2017

    • Author(s)
      Kohei Iwaki
    • Organizer
      Higgs Bundles, Harmonic Maps, and Integrable Systems, Hannover, Germany, August 14, 18
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Stokes structure of equivariant CP1 and wall-crossing2017

    • Author(s)
      Kohei Iwaki
    • Organizer
      Algebraic Geometry and Symplectic Geometry at Crossroads, Kyoto University, September 25-26, 2017.
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Stokes structure of equivariant CP1 and wall-crossing2017

    • Author(s)
      Kohei Iwaki
    • Organizer
      Differential Geometry and Differential Equations: the influence of Mirror Symmetry and Physics, Waseda University, 11-15 December, 2017.
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Exact WKB analysis for oscillatory integrals (2 lectures)2017

    • Author(s)
      Kohei Iwaki
    • Organizer
      Winter School on Singularity and Mathematical Physics, Hotel Le Win, Jeonju, Korea, December 18-20, 2017.
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2018-12-17   Modified: 2022-02-21  

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