2017 Fiscal Year Research-status Report
距離空間上のMusielak-Orlicz空間における楕円型偏微分方程式の研究
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16K17618
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| Research Institution | Oita University |
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Principal Investigator |
大野 貴雄 大分大学, 教育学部, 准教授 (40508511)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Musielak-Orlicｚ空間 / 楕円型偏微分方程式 / 距離空間 / Dirichlet integral |
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| Outline of Annual Research Achievements |
近年，変動指数をもつ関数空間，Orlicz空間や変動指数をもOrlicz空間の研究が，宇宙開発の分野への応用が非常に期待されている電気粘性流体（ER流体）の研究の更なる発展に必要であることがわかってきた．よって本研究では，この領域における研究の更なる発展のため，上記3つの関数空間を含む関数空間（Musielak-Orlicz-Newtonian空間）を定義し，n次元ユークリッド空間では楕円型偏微分方程式の解に相当する，距離空間上のDirichlet integralの最小値問題の解の存在を示すことを目的とする．
本年度は，上記の目的のために，Musielak-Orlicz-Newtonian空間上のMazya型の不等式について研究を行い，予想されていた結果を得ることができた．Mazya型の不等式はPoincareの不等式を得る上で重要な不等式であることは，古典的結果からよく知られている．次にMazya型の不等式を用いて，Musielak-Orlicz-Newtonian空間上のPoincareの不等式について研究を行った．後に示すようにPoincareの不等式はObstacle problemの解の存在を証明する上で重要なツールである．そして，得られたPoincareの不等式を用いることで，Musielak-Orlicz-Newtonian空間上のObstacle problemの解の競争関数の列として，Musielak-Orlicz-Newtonian空間上で有界な関数列を選び，Mazurの補題を用いることで，Obstacle problemの解の存在を示すことができた．
尚，本年度の研究成果は，本研究対象であるMusielak-Orlicz空間が，Lebesgue空間やOrlicz空間，変動指数をもつ関数空間などを包括した関数空間であるため，本研究で得られた関数空間の性質は他の特殊な関数空間で応用可能であることより，本研究のみならず他の研究分野にも意義があると思われる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通り，Musielak-Orlicz-Newtonian空間上のMazya型の不等式について研究を行い，予想されていた形で結果を得ることができ，次に得られたMazya型の不等式を用いて，Musielak-Orlicz-Newtonian空間上のPoincareの不等式についても予想されていた形で結果を得ることができことは，当初の計画通り研究が進んでいると思われる．また，得られたPoincareの不等式を用いることで，Musielak-Orlicz-Newtonian空間上のObstacle problemの解の存在を示すまで研究が進んだことは，当初の計画以上に研究が進展していると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策としては，当初の計画通り，29年度の研究成果であるMusielak-Orlicz-Newtonian空間上のObstacle problemの解の存在を利用することで，Musielak-Orlicz-Newtonian空間におけるDirichlet integralの最小値問題の解の存在について研究を進めていきたい．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由として，「研究業績の概要」，「現在までの達成度」でも触れたように，当初の研究計画より進んだ結果を得られることができたため，購入予定の研究書が変更になったためである．30年度には次年度使用額と30年度請求額を用いて，変更になった研究書も購入する予定である．
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