2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K17620
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
久保田 直樹 日本大学, 理工学部, 助教 (20754972)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 不規則媒質中の乱歩 / 大偏差原理 / ファーストパッセージパーコレーション / ランダムポテンシャル中の乱歩 / フロッグモデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に，本研究の目標である「不規則媒質中の乱歩におけるレート関数の連続性」へアプローチを試みた．現在，レート関数の連続性に対する完全な証明には至っていないが，証明に有効と思われる手法の推定に成功した．その発想において，前年度収集した「ファーストパッセージパーコレーション(FPP)」，「ランダムポテンシャル中の乱歩」，「フロッグモデル」に関する研究が大いに役立った．そこで，これらに関する研究と講演を本年度も引き続き行った．主な活動実績としては以下が挙げられる：
１．フロッグモデルにおいて，最短到達時間の偏差に関する研究を行った．これは上で挙げたFPPと不規則媒質中の乱歩の中間的モデルであり，その研究は既存理論の応用と新たな発想の喚起を本研究課題に与えると期待できる．フロッグモデルに関する結果は既に論文にまとめ，現在学術雑誌に投稿中である．また以下の２－４で，この結果に関する研究発表も行った．
２．神戸大学において開催された「One-day Workshop on Asymptotic and Potential Analysis of Stochastic Processes」に参加し招待講演を行った．
３．ドイツのTU Kaiserslauternにおいて開催された「Japanese-German Open Conference on Stochastic Analysis 2017」に参加し招待講演を行った．
４．東京大学数理科学研究科で開催された「Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems」に参加し招待講演を行った．
５．京都大学数理解析研究所に所属していた岡村和樹氏を招致し，「ランダムポテンシャル中の乱歩におけるshape theorem」について議論を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年の目標は，前年に集めた情報を基に，本研究課題である「不規則媒質中の乱歩におけるレート関数の連続性」へアプローチを試みることである．研究実績の概要でも述べた通り，国内外への研究集会に参加し積極的に研究発表や議論を行うことができた．特に，中心的話題である「ランダムポテンシャル中の乱歩」と「フロッグモデル」の研究については，本研究課題への応用に関して，いくつか有益な情報を得ることができた．
主な成果と課題は以下の通りである：
１．フロッグモデルにおいて，最短到達時刻の偏差に対する評価を行った．その結果は既に論文にまとめ，現在学術雑誌に投稿中である．最短到達時刻の偏差の評価をする場合，ファーストパッセージパーコレーションでは「繰り込み」や「BK不等式」という強力な手法が頻繁に用いられる．しかし，フロッグモデルの最短到達時刻に対しては，これらの手法を直接適用することが困難である．その影響により，１の研究では若干精度の低い偏差の評価に留まっているが，フロッグモデルの最短到達時刻の偏差に関する初の試みという意味で十分価値がある結果と考えられる．
２．１で挙げたフロッグモデルの研究を通し，本研究の目標である「不規則媒質中の乱歩におけるレート関数の連続性」を解決するための糸口を見つけられたという点において，１の研究は非常に重要であったと思われる．また，「ランダムポテンシャル中の乱歩におけるshape theorem」の研究にも応用できそうな方針を得ることができた．上記の発想に至る過程において，本年における研究集会への参加や個人的な議論が大いに役立ったと考えている．
上記のように，本研究課題の完全解決には至っていないが，それにアプローチするための有効な方針を立てることができたため，進捗状況はおおむね順調であると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
フロッグモデルにおける最短到達時刻の偏差評価が難しい理由としては，フロッグモデルが「“長距離へのジャンプを持つ”ファーストパッセージパーコレーション」という側面を持っていることが挙げられる．現在，この問題を解決する方針は見つかっていない．しかし，点から点への最短到達時刻の代わりに，あるボックスを脱出する最短時刻を用いることで，長距離へのジャンプに関する問題を回避できるのではないかと考えている．実はこのアイディアが「不規則媒質中の乱歩におけるレート関数の連続性」に対しても有効に働くと考えている．そこで，以下の内容に焦点を当て，研究に取り組んでいく：
１．パーコレーションクラスター上の乱歩に対し，あるボックスを脱出するための最小コストを考える．このコストは“あるボックス”という有限領域の中の状態にのみ依存するため，「繰り込み」の議論により，独立同分布に近い状況が実現できるはずである．これにより，到達コストに関する大偏差型の評価も導かれると期待できる．特に，下へのズレに関する大偏差型評価はリアプノフ指数の分布に関する連続性に直結するため，ボックスを脱出する最小コストの解析は必要不可欠である．
２．パーコレーションクラスター上の乱歩におけるレート関数は，リアプノフ指数のある種のルジャンドル変換で記述される．そこで，１で述べたリアプノフ指数の分布に関する連続性から，レート関数の連続性が導かれるかを検証する．リアプノフ指数は単調増加性や凹性などの一般的なよい性質を持っているが，それ以外のより詳しい情報（微分可能性や増加のオーダーなど）は分かっていない．そこでまず，レート関数の連続性の証明のために，一般的な性質のみで十分であるのか，またはより詳しい情報が必要となるのかを検証する．
３．引き続き海外出張を行い，最新の研究動向に対する情報収集，および関連分野の研究者との議論を行っていく．
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Research Products
(5 results)
