2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K17620
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
久保田 直樹 日本大学, 理工学部, 助教 (20754972)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 不規則媒質中の乱歩 / 大偏差原理 / ファーストパッセージパーコレーション / ランダムポテンシャル中の乱歩 / フロッグモデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に，本研究の目標である「不規則媒質中の乱歩におけるレート関数の連続性」の証明を試みた．まずは前年度までに研究してきた「ファーストパッセージパーコレーション」，「ランダムポテンシャル中の乱歩」，「フロッグモデル」に関する手法が本研究に適応可能か精査し，不具合が出た場合には議論の改良・新たな手法の開発を行った．その結果，レート関数の“標準的な”連続性を証明することに成功した．これにより本研究課題の大まかな目標は遂行されたが，上記の関連モデルについてより深く研究することは，レート関数の連続性をより詳しく知ることに繋がると考えられる．したがって，上記の関連モデルの研究も継続して行った．これらの研究における主な活動実績としては以下が挙げられる：
１．Dembo氏（Stanford University），福島氏（京都大学）と，ランダムな待ち時間を持つ不規則媒質中の乱歩におけるslowdownの研究を共同で行った．この結果は学術雑誌に本年度掲載された．
２．フロッグモデルにおいて，最短到達時間の偏差に関する研究を行った．この結果は既に論文にまとめ，学術雑誌に掲載予定である．
３．本研究課題である「不規則媒質中の乱歩におけるレート関数の連続性」の証明を行った．この結果は既に論文にまとめ，現在学術雑誌に投稿中である．また以下の４において，この結果に関する研究発表も行った．
４．京都大学において開催された国際研究集会「17th International symposium “Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems”」に参加し招待講演を行った．また，奈良女子大学において開催された研究集会「無限粒子系、確率場の諸問題XIV」および福岡大学において開催された「福岡確率論セミナー」に参加し，招待講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の目標は，本研究課題である「不規則媒質中の乱歩におけるレート関数の連続性」の証明に取り組むことであった．研究実績の概要で述べた通り，前年度までの研究が実を結び，研究課題の大まかな目標を今年度達成することができた．これを踏まえ，主な成果と課題は以下の通りである：
１．本研究課題である「不規則媒質中の乱歩におけるレート関数の連続性」の証明を行った．この結果は既に論文にまとめ，現在学術雑誌に投稿中である．おおむね本研究課題の目標は達成されたが，今回証明した連続性は各点ごとの連続性であり，関数の連続性という意味においては弱い意味のものである．そこで今後の課題としては，「レート関数がより強い連続性（一様連続性やリプシッツ連続性など）をもつか調査する」ことが挙げられる．ファーストパッセージパーコレーションでは，類似問題の研究結果がいくつかあるので，それらと本研究の関連を調査する必要がある．
２．１で述べたように，ファーストパッセージパーコレーションのより深い研究が必要となった．しかし現状では，ファーストパッセージパーコレーションの先行結果が，すぐに「レート関数のより強い連続性」に結びつくかどうかは分かっていない．今後，ファーストパッセージパーコレーションだけでなく，フロッグモデルなど本研究の周辺モデルについて再調査し，問題解決の糸口を掴んでいきたいと考えている．
３．上記の「より強い連続性」の問題，そしてそれに関連するであろうファーストパッセージパーコレーションの先行研究にたどり着く過程において，今年度における研究集会への参加や個人的な議論が大いに役立ったと考えている．
上記のように，本研究課題においてはまだ研究の余地があり，それにアプローチするためには関連モデルのさらなる研究も必要である．しかし，本年度の目標はある意味で達成されているため，進捗状況はおおむね順調であると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の課題は「レート関数がより強い連続性（一様連続性やリプシッツ連続性など）をもつか調査する」ことである．現在までの進捗状況で述べたように，ファーストパッセージパーコレーションでは“強い連続性”に類似した先行研究がいくつかある．そこで，それらの先行研究がレート関数のより強い連続性の導出に応用できるか検証する．特に，このモデルと不規則媒質中の乱歩の中間的モデルであるフロッグモデルを“強い連続性”という観点から再考する必要があると思われる．これらを踏まえ，今後の研究において取り組む内容は以下の通りである：
１．パーコレーションクラスター上の乱歩におけるレート関数は，リアプノフ指数のある種のルジャンドル変換で記述されている．つまり，レート関数の“強い連続性”を調べるためには，リアプノフ指数に関するより詳しい情報が必要となる．リアプノフ指数は単調性や凹性などの一般的なよい性質をいくつか持っているが，より詳しい情報（微分可能性や増加のオーダーなど）は分かっていない．そこでまず，ファーストパッセージパーコレーションやフロッグモデルなど関連モデルを通して，リアプノフ指数をより詳しく調べる．
２．上で述べたように，中間的モデルであるフロッグモデルが，研究進展の大きな役割を担っている可能性がある．このモデルは「“長距離へのジャンプを持つ”ファーストパッセージパーコレーション」という側面をもっており，それがこのモデルの解析を困難にしている．現在，この難点を解消できていない．しかし，多くの自然現象において限りなく遠くまで何かが飛び火するという描像は考えづらく，それはフロッグモデルにおいても同様であると予想している．これを実現するための方針として，「繰り込み」を用いる議論を現在考えている．
３．引き続き海外出張を行い，最新の研究動向に対する情報収集，および関連分野の研究者との議論を行っていく．
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| Causes of Carryover |
今年度子供が生まれとことで，出産後の妻の補助と育児を行う必要が生じた．国内出張の場合は，不測の事態があったときに迅速に帰宅できるため，おおよそ予定通り出張することができた．一方で，海外出張の場合は，すぐに帰宅できないだけでなく，出張期間が長期に渡るケースが多い．そのため，当初複数回予定していた海外出張を断念せざるを得ず，費目別収支状況等にあるように次年度使用額が発生してしまった．また，この理由に付随し，次年度の研究発表で使用予定であるノートパソコンの購入が遅れてしまった．上記の理由により，次年度使用額が生じることとなった．この次年度使用額については，以下の用途で最終年度に使用予定である：
１）次年度は本研究課題の最終年度にあたるため，今年度までに得られた研究結果を多くの場所で発表していく予定である．そこで，今回生じた次年度使用額を使い，予定していたよりも多くの海外・国内出張を行う予定である．
２）１）により，予定よりも長い期間出張を行う可能性がある．そこで，当初購入予定であったノートパソコンよりも多くの回数かつ長期間の出張に耐えられる性能のノートパソコンを購入する必要がある．このようなノートパソコンの購入にも，今回生じた次年度使用額を使う予定である．
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Research Products
(7 results)
