2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K17621
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
浜向 直 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70749754)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 粘性解 / 等高面法 / 決定論的ゲーム / 比較定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結晶表面のような物質の異なる二相を隔てる曲面は「界面」と呼ばれ、その動きは非線形偏微分方程式で記述される。それらの方程式に対して、微分方程式の弱解の概念の一つである粘性解の理論が有用であることは知られており、いくつかの離散スキームなども提案されているものの、収束性以上の深い性質がそこから得られているとは言えない。本研究では、これまでばらばらに発展してきた連続問題と離散問題に対して、それらをつなぐ粘性解理論を構築することで、各々の問題に新たな理解を与えることを目標とする。またそのための土台となる、解の一意存在性の確立や解の諸性質の研究を通して、界面運動を記述する非線形偏微分方程式に数学的な基礎付けを与えることも目指す。
平成２８年度は、主に（１）閉曲面の動きの追跡に有用な等高面法において、数値計算的に界面（ゼロ等高面が）がぼやけないための改良等高面方程式の導入、および（２）動的境界値問題に対する粘性解理論、具体的には［ａ］決定論的離散ゲーム問題に基づく解の表現公式の導出と［ｂ］特異な方程式の粘性解に対する比較定理、を主に研究した。（１）では、界面への距離関数が満たすアイコナール方程式に着目し、パラメータを含む改良方程式の粘性解が、漸近的にその距離関数に収束することを示し研究を完成させた。（２）では、境界での適当な反射を考えることでゲームの値関数の極限として粘性解が得られることを示し、また方程式に特異性がある場合にはこれまで知られていなかった粘性解に対する比較定理、従って解の一意性を証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）では、界面への距離関数が連続な場合は、緩和極限を用いた従来の手法で距離関数への収束が示せるが、本研究において、たとえ距離関数が不連続でも、適切な意味での収束、前の時間からの収束を示せた点が新しい。
（２）について、まず動的境界条件とは未知関数の時間微分を含む境界条件のことで、本研究では、典型例として時間微分が内向き法線方向の空間微分に等しいという境界条件を扱った。［ａ］離散ゲームによる2階方程式の粘性解の表現公式の研究はKohn-Serfaty(2006)に始まり、あるゲームの値関数の極限が粘性解となることが示されている。しかし動的境界値問題に対するゲーム的解釈は知られていなかった。本研究で、境界での適当な反射を含むゲームを考えることで、動的境界条件を満たす粘性解が得られることを導いた点は新しい。［ｂ］比較定理とは、解の初期時刻での大小が時間大域的に保たれることを主張する定理で、ここから解の一意性が導かれる。動的境界値問題に対しては、方程式に特異性が無ければBarles(1993, 1999)によって比較定理が示されているが、この手法をそのまま平均曲率流方程式などの特異な方程式に適用することはできない。そこで特異性を精密に調べるためのパラメータを試験関数に追加する方法で、領域が半空間の場合に比較定理が成立することを証明した。
これらの研究成果が得られたことから順調な進展と判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）の改良等高面方程式の導入の課題では、様々な改良の仕方が考えられる。例えば距離関数の満たす方程式として、アイコナール方程式の代わりに、等高面方程式を平行移動したものも考えられ、それに基づく改良法と粘性解を用いた正当化については今後の研究課題である。（２）の動的境界値問題の粘性解理論の研究については、まず［ａ］の離散ゲーム問題、［ｂ］の比較定理のどちらの課題においても、境界条件がどこまで一般化できるかは重要な課題である。領域境界の法線方向とは限らない方向、傾いた方向への微分を含む場合や、より一般の非線形な境界条件をどこまで扱えるかという問題に今後取り組む。また［ｂ］の比較定理については、領域の形状をどこまで一般化できるかという問題も重要である。
なお（１）の研究は、Ecole des Ponts ParisTech のEleftherios Ntovoris氏との共同研究として出版済み、（２）の研究は［ａ］の離散ゲームについては福岡大学の柳青氏との共同研究として準備中、［ｂ］の比較定理については東京大学の儀我美一氏との共同研究として準備中である。
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| Causes of Carryover |
研究に必要と見込んでいた書籍類の購入額が抑えられ、物品費の支出が予定よりも少なくなったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
現在進行中・準備中の研究について、共同研究者（とりわけ東京大学の儀我美一氏や福岡大学の柳青氏）との研究打ち合わせための訪問、また非線形偏微分方程式関連の研究集会参加のための旅費として支出予定である。
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