2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K17621
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
浜向 直 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70749754)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 粘性解 / 等高面法 / 決定論的ゲーム / 比較定理 / 平均曲率流方程式 / 動的境界条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では非線形偏微分方程式、特に「界面」と呼ばれる物質の異なる二相を隔てる曲面の運動を記述する放物型方程式の初期値問題を扱う。特異的で、退化し、不連続性も持ち得るこのような方程式に対して、微分方程式の弱解の概念の一つである粘性解の理論が有用であることは知られており、いくつかの離散近似法なども提案されてきた。しかし、収束性以上の深い性質や応用が十分明らかになっているとは言えない。本研究の目的は、これまでばらばらに発展してきた連続問題と離散問題に対して、それらをつなぐ粘性解理論を構築することで、各々の問題に新たな理解を与えることである。またそのための土台となる、解の一意存在性の確立や、漸近挙動などの解の諸性質の研究を通して、界面運動を記述する非線形偏微分方程式に数学的な基礎付けを与えることも同時に目指す。
平成３１年度は、（１）境界条件に時間微分を含む「動的境界値問題」に対する粘性解理論、具体的には［ａ］決定的離散ゲームに基づく粘性解の表現公式の応用、［ｂ］法線方向微分に依らない動的境界条件の下での、粘性解に対する比較定理の確立、［ｃ］曲率流方程式の平行移動解の存在と漸近挙動、特にディリクレ・ノイマン境界値問題への解の収束の問題、（２）非整数階微分積分の理論：重み付きヘルダー空間の導入と正則性評価の導出、（３）高木関数を初期値とするハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解の表示、挙動と自己アフィン構造、を主に研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）の［ａ］では、前年度までに導入した、等高面平均曲率流方程式や、一般の非特異・退化放物型方程式の初期値問題の粘性解の離散ゲーム解釈の応用を引き続き考察し、解の漸近挙動の解明や極限問題として現れる比較定理の証明に取り組んだ。［ｂ］では、パラメータを含む動的境界条件の極限として自然に現れる、時間微分がゼロというある種のディリクレ境界条件を典型例に、領域境界において外向き法線方向微分が含まれないような境界条件を持つ初期値問題の粘性解の一意性の問題を考えた。境界への解の適当な連続性の下で、比較定理を導いた。［ｃ］では、１次元区間上のグラフ曲率流方程式の動的境界値問題の平行移動解の存在とその性質を明らかにした。また、極限問題として現れる、ディリクレ・ノイマン境界値問題の解への収束についても議論した。
（２）では、近年研究が盛んな非整数階の時間微分作用素について考察した。通常のヘルダー空間では、微分・積分の階数だけの正則性（ヘルダー指数）の増減が期待できない。そこで重み付きヘルダー空間を新たに導入し、実際に、その空間の関数に対しては微分・積分の階数だけ正則性が変化することを証明した。
（３）では、高木関数を初期値とするハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解について調べた。下限畳み込みで与えられるこの解が、区分的に２次関数として表示されることは前年度の研究において明らかになっていたが、適当な実数の２進展開に現れる係数を用いてその表示をより具体的なものにした。さらにそれを応用し、高木関数自身が持つある種の自己アフィン構造が、解に時間遅れを伴う自己アフィン構造として遺伝されることを明らかにした。
以上一連の成果が得られたことから、おおむね順調な進展と判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）の動的境界値問題の研究では、［ａ］～［ｃ］の相互の関係を調べることが今後の課題である。例えば、離散ゲームを用いた、時間微分がゼロという境界条件を満たす粘性解や平行移動解の解釈、およびその性質を調べることが挙げられる。［ｂ］の研究については、時間微分がゼロという境界条件の場合、半連続粘性解のクラスでは通常の意味での比較定理が成り立たないこと、一方、解にリプシッツ連続性を仮定すれば比較定理が成り立つことは従来指摘されていたが、強い連続性の仮定無しに比較定理を導けたところは本研究の新しい点である。一方、今のところ領域は半空間、方程式は非特異なものに限られているので、その一般化が今後の課題である。領域については、現状、領域の接方向成分のみに関する畳み込みを施し正則性を上げることが証明の鍵となっており、領域境界が平らであることに依存した証明であるので、その改良を議論したい。［ｃ］では、得られた平行移動解を、等高面平均曲率流方程式の解として理解する方法を検討中である。
（２）の非整数階微分積分と正則性の研究は、積分方程式の解の正則性の問題や、微分方程式の解との同値性の問題に応用ができる。さらに、近年導入された非線形偏微分方程式の粘性解理論への応用も模索したい。具体的には、初期値問題の粘性解の時間変数に関する正則性を、本研究で導入した重み付きヘルダー空間を用いて導くことができるか、また、離散化した近似問題に対して解の正則性が得られるかどうかを議論したい。
なお本研究は、（１）の［ａ］は福岡大学の柳青氏との共同研究として一部の結果を投稿済み、［ｃ］は東京大学の儀我美一氏、張龍傑氏との共同研究として遂行中である。（３）の研究は富山大学の藤田安啓氏・山口範和氏との共同研究として投稿準備中である。それ以外は単独研究として本年度遂行した。
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| Causes of Carryover |
理由：大学業務により、予定していたいくつかの出張の日程調整が付かず、出張費の支出が予定よりも少なくなったため。また印刷費や会議費などの諸経費も抑えられたため。
使用計画：共同研究者との研究打ち合わせと成果とりまとめのための出張旅費、研究集会などにおける成果発表のための出張旅費、また成果とりまとめのために必要な物品の購入費等として支出予定である。
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Research Products
(4 results)
