2018 Fiscal Year Research-status Report
ジャンクションを含む平均曲率流の弱解の構成と一意性の解析
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16K17622
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
高棹 圭介 京都大学, 理学研究科, 特定准教授 (50734472)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / フェイズフィールド法 / 幾何学的測度論 / 変分問題 / 特異極限問題 / 極小曲面 / バリフォールド / 弱解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1)前年度に引き続き、境界条件を課した平均曲率流方程式に関して、フェイズフィールド法と幾何学的測度論を用いた解析を行った。研究代表者は、研究協力者の儀我美一氏、尾上文彦氏とともに、前年度得られた動的境界条件付き平均曲率流方程式の弱解に対し、弱解が境界に接触している部分の測度に対して下からの評価を導出した。これにより、初期時刻付近では弱解が領域の境界に接触していることが明らかとなった。本年度まで得られた本研究に関する結果は、現在投稿中である。
(2)結晶成長の数学モデルの一つとして知られている外力項付きの平均曲率流方程式について考察を行った。通常の平均曲率流方程式に対するフェイズフィールド法では、最大値原理により領域内のすべての点においてディリクレエネルギーがポテンシャルエネルギー以下であるという評価が成り立ち、その評価を用いることにより弱解の存在定理が得られることが知られている。しかし、外力項を加えた場合には、そのような評価が成り立つフェイズフィールド法は知られていなかった為、弱解の存在に関しては外力項に対してある程度の仮定が必要であった。それに対して研究代表者は、適切な補正項を加えたフェイズフィールド法がこの評価を満たすことを発見し、さらにその評価を用いて適切なソボレフクラスに属する外力項付きの平均曲率流方程式の弱解の存在を示した。本研究に関する結果は、現在投稿中である。
(3) Epshteyn-Liu-Mizunoによって提唱された金属結晶の焼きなましにおける粒界の運動方程式に関して、粒界がグラフで記述できる場合を考察した。研究代表者は、モデルの提唱者の一人である研究協力者の水野将司氏とともに、方程式に対する単調性公式及び勾配評価を得た。さらにそれらの評価を用いて古典解の存在を示した。本研究に関する結果は、現在投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定に沿った方向に研究が進んでいるわけではないものの、上記の結果により多方面から平均曲率流方程式の性質が明らかになったため。特に、新しく得られた外力項付き平均曲率流方程式に対するフェイズフィールド法は、今後数値計算等の応用が期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
動的境界条件付きの平均曲率流方程式に対しては、曲面が領域の境界に張り付かない場合には、(1)で課した仮定を取り除くことが出来る。よって、単調性公式等を用いて曲面が張り付かない場合の条件を特定し、ジャンクションを含む平均曲率流方程式の解の性質を考察したい。さらに、(3)にて考察した粒界の運動方程式に対して、フェイズフィールド法を用いて解析を行い、グラフではなくより一般の曲面に対して解の存在を示す予定である。
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| Causes of Carryover |
次年度に共同研究者との打ち合わせや国内外の平均曲率流方程式に関する研究集会への参加を予定しており、それらの予定に合わせて当該年度の使用を制限した為、次年度使用額が生じた。
次年度使用額は主に研究打ち合わせの旅費に充てる予定である。
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