2017 Fiscal Year Research-status Report
変分解析を中心とした非線形楕円型方程式の解構造の研究
| Project/Area Number |
16K17623
|
|---|
| Research Institution | Kanazawa University |
|---|
Principal Investigator |
生駒 典久 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (50728342)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 分数冪 Laplacian / zero mass case / 解の多重存在性 / Sobolev臨界 / Sobolev劣臨界 / 基底状態解 / 一意性と非退化性 / 複数制約条件付き最小化問題 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
下記のテーマについて研究を行なった:
１．分数冪 Laplacian を主要項とし，zero mass case と呼ばれる非線形項を持つ方程式に対し，解の多重存在性を示した．ここで扱った非線形項は非常に一般的なものである．Laplacian が主要項である場合，既に多くの研究があるが，それらの研究の分数冪版を証明することに成功した．またここで用いた証明手法は対称性を考慮した峠の定理に基づいており， Laplacian の場合でも適用することができる．なお，その場合においても本証明方法は新しいものとなっている．
２．Laplacian を主要項とし，Sobolev 臨界冪乗型および劣臨界冪乗型を足し合わせた非線形項を持つ非線形楕円型方程式について解析した．周波数パラメータを十分大きくとると，基底状態解と呼ばれる最も基本的な解の一意性および球対称関数空間での非退化性を示すことができた．周波数パラメータが大きいときは，単独の冪乗型方程式や周波数パラメータが小さい場合と比べて解析が困難になるが，上記の結果を得ることができた．
３．２つの質量制約条件を持つエネルギー汎関数の最小化問題を考察し，任意の最小化列のプレコンパクト性を示すことに成功した．この結果より最小化元の存在もしたがう．本問題では，先行研究において用いられてきた議論が全く適用できないような状況をも扱うことができる手法を発見した．この手法については他の最小化問題に対しても適用できる見込みがあり，汎用性のある方法を見つけたのではないかと考えている．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分数冪作用素に対する解析に対しては新たに zero mass case の研究に取り組み，成果を挙げ，理解を深めることができた．また，当初予定していなかった Sobolev 臨界および劣臨界冪乗型を足し合わせた非線形項を持つ楕円型方程式や複数の制約条件を持つ最小化問題について研究を進めることができ，成果を挙げることができた．またこれらの問題から派生する研究課題を見つけた他に，分数冪作用素や変分構造を持つ非線形楕円型方程式についての研究課題を発見することができた．以上のことを勘案すると全体として研究は順調に進んでいる．
|
| Strategy for Future Research Activity |
まず，得られた研究成果のうち研究論文としてまとめていないものはできるだけ早く纏めたい．次に進捗状況欄においても述べたが，これまでの研究を通して新たな研究課題を発見することができたので順次それらの問題について取り組んでいきたい．
|
