2018 Fiscal Year Annual Research Report
Nonlinear elliptic partial differential equations having variation structure
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16K17623
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非線形楕円型方程式 / 制限条件付き変分問題 / 分数冪作用素 / 特異摂動問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度，次のテーマについて研究を実施した：(1) L^2制約条件付き最小化問題の可解性，(2) ウィルモア型球面による葉層構造，(3) 分数冪ラプラシアンを含む方程式，(4) 対数型特異性を持つポテンシャル関数および対数型非線形反応項を含む方程式．
(1) L^2ノルムを予め与え，ハミルトニアンを最小化する問題およびハミルトニアンの臨界点の存在問題を考察した．前者については任意の最小化列がプレコンパクトであり，最小化元の存在を示すことができた．本テーマではポテンシャル関数と一般の非線形反応項を扱っている点が新しい．後者では，定数係数の場合を扱い，得られた結果は先行研究で既に知られているものだが，統一的に扱える手法を開発した点が新しい．
(2) ３次元リーマン多様体のスカラー曲率関数の非退化臨界点を与えた時，その点の近傍を適当に取れば，その近傍がウィルモア型球面により埋め尽くされる(葉層構造)ことを証明した．同様の結果は，平均曲率一定曲面については知られていたが，本結果はウィルモア型球面の場合に示した．
(3) 分数冪ラプラシアンとzero-massと呼ばれる非線形反応項を持つ方程式に対し，非球対称解の可算無限個の存在を示した．そのために臨界点理論における理論を整備し，昨年度までに得られていた結果も本年度整備した理論から帰結できるようになった．
(4) 対数型特異点を持つポテンシャル関数および対数型非線形反応項を含む方程式に対する特異摂動問題を考察し，ポテンシャル関数の特異点に局在化された解の存在を示した．この結果は，劣線形反応項および特異性を持つポテンシャル関数を持つ方程式を扱っている点に新奇性があり，解の挙動はこれまでに知られている結果とは異なる．また他の劣線形反応項および特異性を持つポテンシャル関数を含む方程式の研究を促すものでもある．
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